Convex Functions and Optimization Methods on Riemannian Manifolds

هدف این کتاب ارائه حقایق اساسی توابع محدب، سیستم‌های دینامیکی استاندارد، الگوریتم‌های عددی نزولی و برخی برنامه‌های کامپیوتری بر روی منیفولدهای ریمانی به شکلی مناسب برای ریاضیدانان کاربردی، دانشمندان و مهندسان است. این شامل اطلاعات ریاضی در مورد این موضوعات و برنامه های کاربردی است که در هفت فصل توزیع شده است که موضوعات آنها نزدیک به حوزه های تحقیقاتی من است: ویژگی های متریک منیفولدهای ریمانی، تغییرات اول و دوم انرژی p یک منحنی. توابع محدب در منیفولدهای ریمانی. نمونه های هندسی توابع محدب. جریان ها، تحدب و انرژی ها؛ Hessians و کاربردهای نیمه معین. به حداقل رساندن توابع در منیفولدهای ریمانی تمام الگوریتم‌های عددی، برنامه‌های کامپیوتری و ضمائم (تحدب ریمانی توابع f:R~R، روش‌های نزول در صفحه پوانکر، روش‌های نزول در کره، کامل بودن و تحدب در منیفولدهای فینسلر) تلاشی را برای دسترسی به همه کاربران تشکیل می‌دهند. این کتاب چند تکنیک محاسباتی اساسی و پیاده سازی ساختارهای هندسی است. برای کمک بیشتر به خوانندگان، این کتاب همچنین حاوی بخشی از فرهنگ عامه درباره هندسه ریمانی، توابع محدب و سیستم‌های دینامیکی است زیرا متأسفانه «هیچ‌جایی» در همین زمینه یافت نمی‌شود. کتاب‌های درسی موجود در مورد توابع محدب در فضاهای اقلیدسی یا در سیستم‌های دینامیکی به آنچه در هندسه ریمانی رخ می‌دهد اشاره نمی‌کنند، در حالی که مقالاتی که با منیفولدهای ریمانی سروکار دارند معمولاً از بحث در مورد حقایق ابتدایی اجتناب می‌کنند. معمولاً یک تابع محدب روی یک منیفولد ریمانی یک تابع با ارزش واقعی است که محدودیت آن برای هر قوس ژئودزیکی محدب است.

The object of this book is to present the basic facts of convex functions, standard dynamical systems, descent numerical algorithms and some computer programs on Riemannian manifolds in a form suitable for applied mathematicians, scientists and engineers. It contains mathematical information on these subjects and applications distributed in seven chapters whose topics are close to my own areas of research: Metric properties of Riemannian manifolds, First and second variations of the p-energy of a curve; Convex functions on Riemannian manifolds; Geometric examples of convex functions; Flows, convexity and energies; Semidefinite Hessians and applications; Minimization of functions on Riemannian manifolds. All the numerical algorithms, computer programs and the appendices (Riemannian convexity of functions f:R ~ R, Descent methods on the Poincare plane, Descent methods on the sphere, Completeness and convexity on Finsler manifolds) constitute an attempt to make accesible to all users of this book some basic computational techniques and implementation of geometric structures. To further aid the readers,this book also contains a part of the folklore about Riemannian geometry, convex functions and dynamical systems because it is unfortunately "nowhere" to be found in the same context; existing textbooks on convex functions on Euclidean spaces or on dynamical systems do not mention what happens in Riemannian geometry, while the papers dealing with Riemannian manifolds usually avoid discussing elementary facts. Usually a convex function on a Riemannian manifold is a real­ valued function whose restriction to every geodesic arc is convex.