Constructive Commutative Algebra: Projective Modules Over Polynomial Rings and Dynamical Gröbner Bases

هدف اصلی این کتاب یافتن محتوای سازنده نهفته در اثبات‌های انتزاعی قضایای انضمامی در جبر جابه‌جایی، به‌ویژه در قضایای معروف مربوط به مدول‌های تصویری بر روی حلقه‌های چندجمله‌ای (عمدتاً قضیه کویلن-ساسلین) و همزیستی چند جمله ای های چند متغیره با ضرایب در یک حلقه ارزش گذاری.

برهان های ساده و سازنده برخی از نتایج در تئوری مدول های تصویری بر روی حلقه های چند جمله ای نیز ارائه شده است، و بر پیشرفت های اخیر در حلقه هرمیت و نوری روشن می شود. حلقه گروبنر حدس می زند. حدس های جدیدی در مورد تکمیل تک مدولار ناشی از رویکرد سازنده ما به مسئله تکمیل تک مدولار ارائه شده است.

جبر سازنده را می توان به عنوان اولین مرحله پیش پردازش برای جبر رایانه ای درک کرد که منجر به کشف الگوریتم های عمومی می شود، حتی اگر آنها را کشف کنیم. گاهی اوقات کارآمد نیستند. از نقطه نظر منطقی، ارزیابی دینامیکی یک جایگزین سازنده برای دو ابزار بسیار غیرسازنده جبر انتزاعی می دهد: قانون میانه حذف شده و لم زورن. به عنوان مثال، این ابزارها برای ساختن فاکتورسازی کامل یک ایده آل در یک حلقه ددکیند مورد نیاز هستند، در حالی که روش دینامیکی محتوای محاسباتی این ساختار را نشان می دهد. این یادداشت های سخنرانی از این فلسفه پویا پیروی می کنند.

The main goal of this book is to find the constructive content hidden in abstract proofs of concrete theorems in Commutative Algebra, especially in well-known theorems concerning projective modules over polynomial rings (mainly the Quillen-Suslin theorem) and syzygies of multivariate polynomials with coefficients in a valuation ring.

Simple and constructive proofs of some results in the theory of projective modules over polynomial rings are also given, and light is cast upon recent progress on the Hermite ring and Gröbner ring conjectures. New conjectures on unimodular completion arising from our constructive approach to the unimodular completion problem are presented.

Constructive algebra can be understood as a first preprocessing step for computer algebra that leads to the discovery of general algorithms, even if they are sometimes not efficient. From a logical point of view, the dynamical evaluation gives a constructive substitute for two highly nonconstructive tools of abstract algebra: the Law of Excluded Middle and Zorn's Lemma. For instance, these tools are required in order to construct the complete prime factorization of an ideal in a Dedekind ring, whereas the dynamical method reveals the computational content of this construction. These lecture notes follow this dynamical philosophy.