Computed radiation imaging. Physics and mathematics of forward and inverse problems

Computed Radiation Imaging: Physics and Mathematics of Forward and Inverse Problems......Page 4
Copyright
......Page 5
Preface......Page 12
Why Radiation?......Page 14
Imaging Modalities......Page 15
Direct and Reconstructed Imaging......Page 19
The Forward and Inverse Problems......Page 20
Forward and Inverse Mapping......Page 23
References......Page 25
The Forward Problem......Page 26
Variables......Page 28
Cross Sections......Page 30
Boltzmann Transport Equation......Page 33
Source-Free Steady-State Problem......Page 34
Steady-State Problem in Void......Page 36
Point-Kernel Method......Page 37
Charged Particles......Page 38
References......Page 39
Scaling......Page 40
Measured Response......Page 41
Sensitivity......Page 42
Components......Page 43
Source......Page 44
Detector......Page 45
Image Grid......Page 46
Idealization......Page 47
Validation......Page 48
References......Page 49
Basic Model......Page 50
Photons......Page 53
Discretization......Page 55
Gamma Rays......Page 56
X-Rays......Page 58
Neutrons......Page 60
Secondary Radiation......Page 61
Scattering......Page 62
Sensitivity......Page 63
Variability......Page 64
References......Page 65
Embedded Radiation......Page 66
Induced Emission......Page 68
Discretization......Page 71
Sources......Page 72
References......Page 74
Introduction......Page 76
Single-Scattering Model......Page 77
Multiple Scattering......Page 78
Compton Scattering......Page 79
Neutron Elastic Scattering......Page 81
Discretization......Page 83
References......Page 84
The Inverse Problem......Page 86
Discretization......Page 88
Well-Posed Problem......Page 90
Uniqueness......Page 91
Ill-Posed Problem......Page 92
Ill-Conditioning......Page 93
Within a Space......Page 95
Vector Norm......Page 96
Sequences......Page 97
Boundedness......Page 98
References......Page 99
Matrix......Page 100
Functional......Page 101
Fourier Transform......Page 102
Backprojection......Page 104
Probabilistic......Page 105
Probabilistic Basis of Maximum-Likelihood and Least-Squares Methods......Page 107
Reference......Page 108
Preprocessing of Measurements......Page 110
Sampling......Page 111
Error Minimization......Page 113
Frequency Analysis......Page 117
Frequency Filtering......Page 118
Impulse Response......Page 120
Detector Aperture......Page 121
Moving-Average Filter......Page 122
Gaussian Filter......Page 123
Recursive Weighted Moving Average Filter......Page 124
Matched Filter......Page 125
Consistency and Smoothing......Page 126
Regularized Least-Squares......Page 127
Dynamic Programming......Page 128
Spline Smoothing......Page 132
Mollification......Page 133
References......Page 135
Error Propagation......Page 138
Singular Value Decomposition......Page 139
Approach......Page 141
Mathematical Significance......Page 143
An Optimization Perspective......Page 145
Minimum Information......Page 146
Gradient of Solution......Page 147
Covariance Matrix......Page 149
Spatial Correlation......Page 150
Modeling-Error Compensation......Page 151
Piecewise......Page 152
Huber......Page 155
Approximately Quadratic......Page 157
Hypersurface Minimal......Page 158
Variational......Page 159
Maximum Entropy......Page 160
Solution Bounding......Page 162
Regularization-Parameter Determination......Page 163
Convergence Regularization......Page 164
L-Curve......Page 165
Minimum Predictive Error......Page 166
Generalized Cross Validation......Page 167
Statistical Hypothesis Testing......Page 168
Iterative Methods......Page 170
Geometric Approach......Page 171
Successive Approximation......Page 172
Steepest Descent......Page 174
Conjugate Gradient......Page 175
Convergence Metrics and Stopping Criteria......Page 176
Convergence Metric......Page 177
Nonlinear Problems......Page 178
Successive Approximation......Page 179
Newton-Raphson......Page 180
Levenberg-Marquardt......Page 181
References......Page 182
Formulation......Page 186
Effect of Number of Measurements......Page 188
Sensitivity to Measurement Uncertainty......Page 189
Sequential Linearization......Page 190
Genetic Evolution......Page 191
Simulated Annealing......Page 193
Neural Networks......Page 195
References......Page 196
Radon Transform......Page 198
Fundamental Equations......Page 200
Discretization......Page 203
Interpolation......Page 206
Direct Fourier Inversion......Page 207
Backprojection......Page 208
Direct......Page 209
Fourier Filtered......Page 210
Shepp-Logan Filtered......Page 211
Convolution Filtered......Page 212
Error Propagation......Page 214
Rebinning......Page 215
Direct Backprojection......Page 217
Cone-Beam Transmission Tomography......Page 219
Emission Imaging......Page 221
Scatter Imaging......Page 226
Wavelet Transforms......Page 227
References......Page 230
Bayesian - Minimum Information......Page 232
Poisson Distribution......Page 234
Normal Distribution......Page 236
Maximum a posteriori (MAP)......Page 237
The Monte Carlo Method......Page 241
References......Page 243
Incompleteness......Page 244
Twomey-Phillips Solution......Page 245
Analytic Solutions......Page 246
Estimation Maximization......Page 247
Emission Imaging......Page 249
Transmission Imaging......Page 250
Scatter Imaging......Page 253
Markov Random Fields......Page 254
References......Page 255
Ideal Problem......Page 258
Noisy-Ideal Problem......Page 260
Independently-Simulated-Data Problem......Page 263
Background......Page 264
Inaccuracy......Page 265
Calibration......Page 266
Inexactness......Page 268
Image Quality......Page 269
Point Spread Function......Page 270
Line Spread Function......Page 271
Edge Response Function......Page 272
Modulation Transfer Function......Page 273
Contrast......Page 275
Sensitivity......Page 277
Accuracy and Precision......Page 278
Test Objects......Page 279
Single Inserts......Page 280
Multiple Inserts......Page 281
References......Page 282
Post-Processing: Image Enhancement......Page 284
Image Convolution......Page 285
Point Spread Function......Page 287
Noise......Page 289
Gaussian Filter......Page 290
Pseudoinverse/Matched Filter......Page 291
Power Spectrum Equalization Filter......Page 292
Frequency-Dependent Filters......Page 293
Matrix Based......Page 294
Statistical Methods......Page 295
Optimization......Page 296
Blind Deconvolution......Page 297
References......Page 299
Bibliography......Page 302