Complex Multiplication

کتاب کوچک شیمورا-تانیاما با موضوع مولتی پیچیده یک کتاب کلاسیک است. این نتایج به دست آمده توسط آنها (و برخی توسط Weil) در حالت ابعاد بالاتر، تعمیم روش Deuring برای منحنی های بیضوی را به روش کاهشی p. تا حدی از طریق کار خود شیمورا (ر.ک. [Sh 1] [Sh 2] و [Sh 5])، و برخی دیگر (Serre، Tate، Kubota، Ribet، Deligne و غیره) امروزه می توان کارهای بیشتری ساخت. ارائه سریع و گسترده نتایج بنیادی نسبت به آنچه در سال 1961 امکان پذیر بود. چندین نفر یادداشت های سخنرانی من را در این زمینه برای آنها مفید یافتند، و بنابراین من تصمیم گرفتم این کتاب کوتاه را منتشر کنم تا آنها را به طور گسترده در دسترس قرار دهم. به خوانندگانی که با نظریه استاندارد واریته‌های آبلی آشنا هستند و می‌خواهند سریعاً ایده‌ای از حقایق اساسی ضرب پیچیده به دست آورند، توصیه می‌شود ابتدا به دو قضیه اصلی، فصل 3، بند 6 و فصل 4، بند 1 نگاه کنند. و همچنین بقیه فصل 4. برنامه های کاربردی فصل 6 نیز می توانند زودتر مطالعه شوند. من بسیار مدیون N. Schappacher برای مطالعه دقیق متن دست هستم که منجر به ارائه تعدادی پیشنهاد مفید می شود. S. LANG محتویات فصل 1 ضرب مختلط تحلیلی 4 I. Involutions قطعی مثبت. . . 6 2. انواع CM و زیر فیلدها. . . . . 8 3. کاربرد در منیفولدهای آبلی. 4. ساخت منیفولدهای آبلی با CM 14 21 5. رفلکس از نوع CM. . . . .

The small book by Shimura-Taniyama on the subject of complex multi­ is a classic. It gives the results obtained by them (and some by Weil) plication in the higher dimensional case, generalizing in a non-trivial way the method of Deuring for elliptic curves, by reduction mod p. Partly through the work of Shimura himself (cf. [Sh 1] [Sh 2], and [Sh 5]), and some others (Serre, Tate, Kubota, Ribet, Deligne etc.) it is possible today to make a more snappy and extensive presentation of the fundamental results than was possible in 1961. Several persons have found my lecture notes on this subject useful to them, and so I have decided to publish this short book to make them more widely available. Readers acquainted with the standard theory of abelian varieties, and who wish to get rapidly an idea of the fundamental facts of complex multi­ plication, are advised to look first at the two main theorems, Chapter 3, §6 and Chapter 4, §1, as well as the rest of Chapter 4. The applications of Chapter 6 could also be profitably read early. I am much indebted to N. Schappacher for a careful reading of the manu­ script resulting in a number of useful suggestions. S. LANG Contents CHAPTER 1 Analytic Complex Multiplication 4 I. Positive Definite Involutions . . . 6 2. CM Types and Subfields. . . . . 8 3. Application to Abelian Manifolds. 4. Construction of Abelian Manifolds with CM 14 21 5. Reflex of a CM Type . . . . .