Complex Analysis: In the Spirit of Lipman Bers

این کتاب برای دوره تحصیلات تکمیلی در تجزیه و تحلیل پیچیده در نظر گرفته شده است، که در آن تمرکز اصلی بر نظریه توابع با ارزش پیچیده یک متغیر مختلط است. این نظریه پیش نیازی برای مطالعه بسیاری از حوزه های ریاضیات از جمله نظریه چندین متغیر پیچیده متناهی و بی نهایت، هندسه هذلولی، دو و سه چندگانه و نظریه اعداد است. تجزیه و تحلیل پیچیده با بسیاری از موضوعات دیگر در ریاضیات و سایر علوم ارتباط و کاربرد دارد. بنابراین این مطالب برای دانشمندان کامپیوتر، فیزیکدانان و مهندسان نیز مورد توجه خواهد بود.

این کتاب بیشتر، اگر نه همه، مطالب موجود در دوره های لیپمن برز در مورد تحلیل پیچیده سال اول را پوشش می دهد. علاوه بر این، موضوعات مورد علاقه فعلی، مانند صفرهای توابع هولومورفیک و ارتباط بین هندسه هذلولی و تجزیه و تحلیل پیچیده، مورد بررسی قرار می‌گیرند.

علاوه بر بسیاری از تمرین‌های جدید، این ویرایش دوم انواع مختلف و جدید را معرفی می‌کند. موضوعات جالب ویژگی های جدید شامل بخشی در قضیه برس در مورد هم شکلی بین حلقه های توابع هولومورفیک در حوزه های صفحه است. شرایط لازم و کافی برای وجود یک تابع تحلیلی محدود روی دیسک با صفرهای تجویز شده؛ بخش هایی در مورد توابع ساب هارمونیک و اصل پرون. و بخشی در حلقه توابع هولومورفیک در یک دامنه صفحه. سه ضمیمه جدید وجود دارد: اولی مشارکتی از رانجان روی در مورد تاریخچه تحلیل پیچیده است، دومی حاوی مطالب پس‌زمینه‌ای در مورد محاسبات دیفرانسیل بیرونی است، و ضمیمه سوم شامل یک رویکرد جایگزین به نظریه کوشی است.

This book is intended for a graduate course in complex analysis, where the main focus is the theory of complex-valued functions of a single complex variable. This theory is a prerequisite for the study of many areas of mathematics, including the theory of several finitely and infinitely many complex variables, hyperbolic geometry, two- and three-manifolds, and number theory. Complex analysis has connections and applications to many other subjects in mathematics and to other sciences. Thus this material will also be of interest to computer scientists, physicists, and engineers.

The book covers most, if not all, of the material contained in Lipman Bers’s courses on first year complex analysis. In addition, topics of current interest, such as zeros of holomorphic functions and the connection between hyperbolic geometry and complex analysis, are explored.

In addition to many new exercises, this second edition introduces a variety of new and interesting topics. New features include a section on Bers's theorem on isomorphisms between rings of holomorphic functions on plane domains; necessary and sufficient conditions for the existence of a bounded analytic function on the disc with prescribed zeros; sections on subharmonic functions and Perron's principle; and a section on the ring of holomorphic functions on a plane domain. There are three new appendices: the first is a contribution by Ranjan Roy on the history of complex analysis, the second contains background material on exterior differential calculus, and the third appendix includes an alternate approach to the Cauchy theory.