Cohomology Theory of Topological Transformation Groups

از نظر تاریخی، کاربردهای توپولوژی جبری برای مطالعه گروه‌های تبدیل توپولوژیکی در کار L. E. 1. Brouwer در مورد تبدیل‌های تناوبی و کمی بعد، در قضیه زیبای نقطه ثابت P ایجاد شد. A. Smith برای نقشه های دوره ای اول در حوزه های همسانی. با مقایسه قضیه نقطه ثابت اسمیت با پیشینیانش، قضایای نقطه ثابت بروور و لفشتز، می‌توان دریافت که حداقل در مورد حوزه‌های همسانی، امکان ارتقای نتیجه وجود (یا عدم) صرف وجود دارد. برای تعیین واقعی نوع همسانی مجموعه نقطه ثابت، اگر نقشه به صورت دوره ای اول فرض شود. نتیجه پیشگام P. A. Smith به وضوح یک جهت کلی پربار مطالعه گروه های تبدیل توپولوژیکی در چارچوب توپولوژی جبری را پیشنهاد می کند. به طور طبیعی، مشکلات فوری پس از قضیه نقطه ثابت اسمیت تعمیم آن هم در جهت جایگزینی کره های همسانی با فضاهایی با انواع توپولوژیکی عمومی تر و هم در جهت جایگزینی گروه tl با گروه های فشرده تر است.

Historically, applications of algebraic topology to the study of topological transformation groups were originated in the work of L. E. 1. Brouwer on periodic transformations and, a little later, in the beautiful fixed point theorem ofP. A. Smith for prime periodic maps on homology spheres. Upon comparing the fixed point theorem of Smith with its predecessors, the fixed point theorems of Brouwer and Lefschetz, one finds that it is possible, at least for the case of homology spheres, to upgrade the conclusion of mere existence (or non-existence) to the actual determination of the homology type of the fixed point set, if the map is assumed to be prime periodic. The pioneer result of P. A. Smith clearly suggests a fruitful general direction of studying topological transformation groups in the framework of algebraic topology. Naturally, the immediate problems following the Smith fixed point theorem are to generalize it both in the direction of replacing the homology spheres by spaces of more general topological types and in the direction of replacing the group tl by more general compact groups.