Cohomology Theories for Compact Abelian Groups

از میان تمام ساختارهای جبری توپولوژیک، گروه‌های توپولوژیکی فشرده شاید غنی‌ترین نظریه را از 80 سال قبل داشته باشند، بسیاری از زمینه‌های مختلف به مطالعه آنها کمک می‌کنند: تجزیه و تحلیل از طریق تئوری نمایش و تحلیل هارمونیک وارد می‌شود. ژئومتری دیفرانسیل، نظریه توابع تحلیلی واقعی و نظریه معادلات دیفرانسیل از طریق نظریه گروه دروغ وارد بازی می شوند. توپولوژی مجموعه نقطه ای در توصیف ساختار هندسی محلی گروه های فشرده از طریق فضاهای محدود استفاده می شود. توپولوژی جهانی و تئوری منیفولدها مجدداً از طریق نظریه گروه دروغ ایفای نقش می کنند. و البته جبر از طریق نظریه هم شناسی و همسانی وارد می شود. یکی از زیر کلاس‌های گروه‌های فشرده به‌خوبی شناخته‌شده، کلاس گروه‌های آبلیان فشرده است. یک عنصر اضافی از ظرافت، نظریه دوگانگی است، که بیان می‌کند که دسته گروه‌های آبلی فشرده کاملاً معادل گروه گروه‌های آبلی (گسسته) با تمام فلش‌های معکوس است. این امکان یک جبری تقریباً کامل از هر سؤالی را در مورد گروه های آبلی فشرده فراهم می کند. زیر کلاس گروه های آبلی فشرده در دسته بندی فشرده چندان خاص نیست. گروه هایی که ممکن است در نگاه اول به نظر برسد. همانطور که بسیار شناخته شده است، ساختار هندسی محلی یک گروه فشرده ممکن است بسیار پیچیده باشد، اما همه پیچیدگی های محلی اتفاقا \"abelian\" هستند. در واقع، از طریق نظریه دوگانگی، عارضه در گروه‌های متصل فشرده به طور صادقانه در نظریه گروه‌های آبلی گسسته بدون پیچش منعکس می‌شود که پیچیدگی بدنام آنها در برابر تمام تلاش‌های طبقه‌بندی کامل در رتبه‌های بیشتر از دو مقاومت کرده است.

Of all topological algebraic structures compact topological groups have perhaps the richest theory since 80 many different fields contribute to their study: Analysis enters through the representation theory and harmonic analysis; differential geo­ metry, the theory of real analytic functions and the theory of differential equations come into the play via Lie group theory; point set topology is used in describing the local geometric structure of compact groups via limit spaces; global topology and the theory of manifolds again playa role through Lie group theory; and, of course, algebra enters through the cohomology and homology theory. A particularly well understood subclass of compact groups is the class of com­ pact abelian groups. An added element of elegance is the duality theory, which states that the category of compact abelian groups is completely equivalent to the category of (discrete) abelian groups with all arrows reversed. This allows for a virtually complete algebraisation of any question concerning compact abelian groups. The subclass of compact abelian groups is not so special within the category of compact. groups as it may seem at first glance. As is very well known, the local geometric structure of a compact group may be extremely complicated, but all local complication happens to be "abelian". Indeed, via the duality theory, the complication in compact connected groups is faithfully reflected in the theory of torsion free discrete abelian groups whose notorious complexity has resisted all efforts of complete classification in ranks greater than two.