Cohomological Theory of Dynamical Zeta Functions

توابع زتا پویا به سیستم‌های دینامیکی با مجموعه‌ای از مدارهای تناوبی قابل شمارش مرتبط هستند. توابع زتای دینامیکی جریان ژئودزیکی فضاهای متقارن رتبه یک نیز به عنوان توابع زتای سلبرگ تعمیم یافته شناخته می شوند. کتاب حاضر به این توابع زتا از دیدگاه هم‌شناسی می‌پردازد. در اصل، تابع زتای سلبرگ در نظریه طیفی اشکال اتومورفیک ظاهر شد و با قیاسی بین فرمول صریح ویل برای تابع زتای ریمان و فرمول ردیابی سلبرگ پیشنهاد شد ([261]). هدف تئوری همولوژیکی درک خواص تحلیلی توابع زتا بر اساس آنالوگ های مناسب فرمول نقطه ثابت Lefschetz است که در آن مدارهای تناوبی جریان ژئودزی جای نقاط ثابت را می گیرند. این رویکرد موازی با ایده ویل برای تجزیه و تحلیل توابع زتا انواع جبری پیش بینی شده بر روی میدان های محدود بر اساس نسخه های مناسب فرمول نقطه ثابت Lefschetz است. فرمالیسم فرمول Lefschetz نشان می‌دهد که مقسوم‌کننده‌های توابع زتای Hassc-Wcil با طیف عملگرهای Frobenius در هم‌شناسی l-adic تعیین می‌شوند.

Dynamical zeta functions are associated to dynamical systems with a countable set of periodic orbits. The dynamical zeta functions of the geodesic flow of lo­ cally symmetric spaces of rank one are known also as the generalized Selberg zeta functions. The present book is concerned with these zeta functions from a cohomological point of view. Originally, the Selberg zeta function appeared in the spectral theory of automorphic forms and were suggested by an analogy between Weil's explicit formula for the Riemann zeta function and Selberg's trace formula ([261]). The purpose of the cohomological theory is to understand the analytical properties of the zeta functions on the basis of suitable analogs of the Lefschetz fixed point formula in which periodic orbits of the geodesic flow take the place of fixed points. This approach is parallel to Weil's idea to analyze the zeta functions of pro­ jective algebraic varieties over finite fields on the basis of suitable versions of the Lefschetz fixed point formula. The Lefschetz formula formalism shows that the divisors of the rational Hassc-Wcil zeta functions are determined by the spectra of Frobenius operators on l-adic cohomology.