Cohomological Aspects in Complex Non-Kähler Geometry

در این یادداشت‌ها، خلاصه‌ای از نتایج اخیر را در مورد ویژگی‌های هم‌شناختی منیفولدهای پیچیده فشرده که دارای ساختار کاهلر نیستند، ارائه می‌کنیم.

از یک طرف، تعداد زیادی تحلیل توسعه‌یافته تکنیک‌ها این امکان را به وجود می‌آورد که خواص همولوژیکی قوی برای منیفولدهای فشرده کاهلر اثبات شود. از سوی دیگر، برای بررسی بیشتر هر یک از این ویژگی‌ها، طبیعی است که به دنبال منیفولدهایی بگردیم که هیچ ساختار کاهلر ندارند.

ما به‌ویژه بر مطالعه هم‌شناسی Bott-Chern و Aeppli از فشرده تمرکز می‌کنیم. منیفولدهای پیچیده چندین نتیجه در مورد محاسبات همولوژی های Dolbeault و Bott-Chern بر روی nilmanifolds خلاصه شده است و به خوانندگان اجازه می دهد تا نمونه های صریح را مطالعه کنند. منیفولدهایی که دارای ساختارهای تقریباً پیچیده یا سایر ساختارهای خاص هستند (مانند نمونه، پیچیده، تعمیم یافته و غیره) نیز در نظر گرفته می شوند.

In these notes, we provide a summary of recent results on the cohomological properties of compact complex manifolds not endowed with a Kähler structure.

On the one hand, the large number of developed analytic techniques makes it possible to prove strong cohomological properties for compact Kähler manifolds. On the other, in order to further investigate any of these properties, it is natural to look for manifolds that do not have any Kähler structure.

We focus in particular on studying Bott-Chern and Aeppli cohomologies of compact complex manifolds. Several results concerning the computations of Dolbeault and Bott-Chern cohomologies on nilmanifolds are summarized, allowing readers to study explicit examples. Manifolds endowed with almost-complex structures, or with other special structures (such as, for example, symplectic, generalized-complex, etc.), are also considered.