Coarse Geometry and Randomness: École d’Été de Probabilités de Saint-Flour XLI – 2011

این یادداشت‌های سخنرانی تعامل بین تصادفی بودن و هندسه نمودارها را مطالعه می‌کنند. بخش اول یادداشت ها چندین مفهوم اساسی هندسی را مرور می کند، قبل از اینکه به بررسی تجلی هندسه زیربنایی در رفتار فرآیندهای تصادفی، عمدتا نفوذ و راه رفتن تصادفی بپردازیم.

مطالعه هندسه بینهایت. نمودارهای متعدی راس، و به ویژه نمودارهای Cayley، نسبتاً به خوبی توسعه یافته اند. یکی از اهداف این یادداشت‌ها اشاره به برخی فضاهای متریک تصادفی است که توسط نمودارها مدل‌سازی شده‌اند که تا حدودی عجیب و غریب به نظر می‌رسند، یعنی ترکیبی از ویژگی‌هایی را می‌پذیرند که در دنیای متعدی راس با آن‌ها مواجه نشده‌اند. اینها شامل خوشه‌های نفوذ در نمودارهای متعدی راس، خوشه‌های بحرانی، محدودیت‌های محلی و مقیاس‌بندی نمودارها، نفوذ طولانی، نمودارهای CCCP به‌دست‌آمده از انقباض خوشه‌های نفوذ روی نمودارها، و نمودارهای تصادفی ثابت، از جمله مثلث‌سازی مسطح بی‌نهایت یکنواخت (UIchapt) و sto چهارگوشی مسطح هذلولی (SHIQ).

These lecture notes study the interplay between randomness and geometry of graphs. The first part of the notes reviews several basic geometric concepts, before moving on to examine the manifestation of the underlying geometry in the behavior of random processes, mostly percolation and random walk.

The study of the geometry of infinite vertex transitive graphs, and of Cayley graphs in particular, is fairly well developed. One goal of these notes is to point to some random metric spaces modeled by graphs that turn out to be somewhat exotic, that is, they admit a combination of properties not encountered in the vertex transitive world. These include percolation clusters on vertex transitive graphs, critical clusters, local and scaling limits of graphs, long range percolation, CCCP graphs obtained by contracting percolation clusters on graphs, and stationary random graphs, including the uniform infinite planar triangulation (UIPT) and the stochastic hyperbolic planar quadrangulation (SHIQ).