Catalan's conjecture

یوژن چارلز کاتالان حدس معروف خود را - که 8 و 9 تنها دو توان متوالی کامل اعداد طبیعی هستند - در سال 1844 در نامه ای به سردبیر مجله ریاضی کرل مطرح کرد. صد و پنجاه و هشت سال بعد، Preda Mihailescu آن را ثابت کرد.

Catalan’s Conjecture این نتیجه دیدنی را به گونه‌ای ارائه می‌کند که برای دانشجویان پیشرفته در مقطع کارشناسی قابل دسترسی است. چند بخش اول کتاب به کمی بیش از یک پیش‌زمینه ریاضی پایه و مقداری دانش از نظریه اعداد ابتدایی نیاز دارد، در حالی که بخش‌های بعدی شامل نظریه گالوا، نظریه اعداد جبری و مقدار کمی جبر جابجایی است. پیش نیازها، مانند حقایق اساسی از محاسبات میدان‌های سیکلوتومیک، همگی در متن مورد بحث قرار می‌گیرند.

نویسنده هم اثبات میهایلسکو و هم کار قبلی را که از آن استفاده کرده بود تجزیه و تحلیل می‌کند و دقت زیادی برای انتخاب ساده‌شده دارد. و نسخه‌های شفاف استدلال‌ها و حفظ متن در خود. فقط در اثبات قضیه تاین از نظریه میدان کلاسی کمی استفاده می شود. امید است که این برنامه خواننده علاقه مند را برای مطالعه بیشتر این نظریه ترغیب کند.

این کتاب که به زیبایی واضح و مختصر است، نه تنها برای متخصصان نظریه اعداد، بلکه برای هر کسی که علاقه مند به دیدن کاربرد این نظریه است جذاب خواهد بود. ایده های نظریه اعداد جبری به یک مسئله معروف ریاضی.

Eugène Charles Catalan made his famous conjecture – that 8 and 9 are the only two consecutive perfect powers of natural numbers – in 1844 in a letter to the editor of Crelle’s mathematical journal. One hundred and fifty-eight years later, Preda Mihailescu proved it.

Catalan’s Conjecture presents this spectacular result in a way that is accessible to the advanced undergraduate. The first few sections of the book require little more than a basic mathematical background and some knowledge of elementary number theory, while later sections involve Galois theory, algebraic number theory and a small amount of commutative algebra. The prerequisites, such as the basic facts from the arithmetic of cyclotomic fields, are all discussed within the text.

The author dissects both Mihailescu’s proof and the earlier work it made use of, taking great care to select streamlined and transparent versions of the arguments and to keep the text self-contained. Only in the proof of Thaine’s theorem is a little class field theory used; it is hoped that this application will motivate the interested reader to study the theory further.

Beautifully clear and concise, this book will appeal not only to specialists in number theory but to anyone interested in seeing the application of the ideas of algebraic number theory to a famous mathematical problem.