Cartesian Currents in the Calculus of Variations II: Variational Integrals

مشکلات تغییرات غیر اسکالر در زمینه های مختلف ظاهر می شوند. در هندسه، به عنوان مثال، ما با مشکلات اساسی نقشه های هارمونیک بین منیفولدهای ریمانی و حداقل غوطه وری مواجه می شویم. سوالات مرتبط در فیزیک ظاهر می شوند، به عنوان مثال در نظریه کلاسیک مدل های a. الاستیسیته غیر خطی مثال دیگری در مکانیک پیوسته است، در حالی که نظریه Oseen-Frank در مورد کریستال های مایع و نظریه Ginzburg-Landau در مورد ابررسانایی نیاز به درمان مشکلات تغییرات به منظور مدل سازی پدیده های کاملاً پیچیده دارند. به طور معمول، شخص علاقه مند به یافتن نمایندگان کمینه سازی انرژی در کلاس های همولوژی یا هموتوپی نقشه ها، مینیینه سازهایی با تکینگی های توپولوژیکی تجویز شده، بارهای توپولوژیکی، تغییر شکل های پایدار است. ه. کمینه کننده در کلاس های دیفئومورفیسم ها یا میدان های اکسترمال. در دو یا سه دهه اخیر علاقه، دانش و درک نظریه عمومی برای این نوع مسائل، که اغلب به عنوان مسائل تغییرات هندسی از آنها یاد می شود، رو به رشد بوده است. به دلیل فقدان نظریه نظم در حالت غیر اسکالر، بر خلاف حالت اسکالر - یا به عبارت دیگر به دلیل وقوع تکینگی ها در کمینه کننده های با ارزش برداری که اغلب با پدیده های غلظت برای چگالی انرژی مرتبط هستند - و به دلیل ویژگی های خاص ارتباط این تکینگی‌ها با مشکلی که در مورد جدا کردن یک فرمول ضعیف یا درک کامل اهمیت فرمول‌بندی‌های ضعیف مختلف در نظر گرفته می‌شود، بی‌اهمیت می‌شود.

Non-scalar variational problems appear in different fields. In geometry, for in­ stance, we encounter the basic problems of harmonic maps between Riemannian manifolds and of minimal immersions; related questions appear in physics, for example in the classical theory of a-models. Non linear elasticity is another example in continuum mechanics, while Oseen-Frank theory of liquid crystals and Ginzburg-Landau theory of superconductivity require to treat variational problems in order to model quite complicated phenomena. Typically one is interested in finding energy minimizing representatives in homology or homotopy classes of maps, minimizers with prescribed topological singularities, topological charges, stable deformations i. e. minimizers in classes of diffeomorphisms or extremal fields. In the last two or three decades there has been growing interest, knowledge, and understanding of the general theory for this kind of problems, often referred to as geometric variational problems. Due to the lack of a regularity theory in the non scalar case, in contrast to the scalar one - or in other words to the occurrence of singularities in vector valued minimizers, often related with concentration phenomena for the energy density - and because of the particular relevance of those singularities for the problem being considered the question of singling out a weak formulation, or completely understanding the significance of various weak formulations becames non trivial.