Calculus of Fractions and Homotopy Theory

هدف اصلی کار حاضر ارائه یک مقوله خاص برای مطالعه هموتوپی به خواننده است، یعنی دسته موضوع همنو (IV). این مقوله در واقع - با توجه به فصل هفتم و یک قضیه معروف J. H. C. WHITEHEAD - معادل مقوله هموتوپی مدولو کمپلکس های CW است، یعنی دسته ای که اشیاء آن فضاهایی از نوع هموتوپی یک کمپلکس CW و که مورفیسم آنها طبقات همتوپی از نگاشتهای پیوسته بین چنین فضاهایی هستند. همچنین معادل (I, 1.3) با دسته ای از کسری از رده فضاهای توپولوژیکی مدول هموتوپی، و با دسته مجتمع های کان مدول هموتوپی (IV) است. به منظور تعریف مقوله همتوپیکی ما، به نظر می رسد مفید است که تا حد ممکن روش هایی را که در جبر منطقی همسان کارآمد هستند، دنبال کنیم. بنابراین مقوله ما آنالوگ "توپولوژیکی" دسته مشتق شده از یک دسته آبلی (VERDIER) است. ماشین جبری که اساساً این کار بر آن استوار است، شامل مبنای معمول در نظریه مقوله - خلاصه شده در فرهنگ لغت - و نظریه دسته بندی کسری است که موضوع فصل اول کتاب را تشکیل می دهد. ماشین‌های توپولوژیکی صرفاً به چند ویژگی فضاهای کلی تقلیل می‌دهند (فصل I و III). نقطه شروع مطالعه ما مقوله 10 اگر مجموعه های ساده است (مجموعه های C.S.S یا مجموعه های نیمه ساده در اصطلاح قبلی).

The main purpose of the present work is to present to the reader a particularly nice category for the study of homotopy, namely the homo­ topic category (IV). This category is, in fact, - according to Chapter VII and a well-known theorem of J. H. C. WHITEHEAD - equivalent to the category of CW-complexes modulo homotopy, i.e. the category whose objects are spaces of the homotopy type of a CW-complex and whose morphisms are homotopy classes of continuous mappings between such spaces. It is also equivalent (I, 1.3) to a category of fractions of the category of topological spaces modulo homotopy, and to the category of Kan complexes modulo homotopy (IV). In order to define our homotopic category, it appears useful to follow as closely as possible methods which have proved efficacious in homo­ logical algebra. Our category is thus the" topological" analogue of the derived category of an abelian category (VERDIER). The algebraic machinery upon which this work is essentially based includes the usual grounding in category theory - summarized in the Dictionary - and the theory of categories of fractions which forms the subject of the first chapter of the book. The merely topological machinery reduces to a few properties of Kelley spaces (Chapters I and III). The starting point of our study is the category ,10 Iff of simplicial sets (C.S.S. complexes or semi-simplicial sets in a former terminology).