Calculus Deconstructed: A Second Course in First-Year Calculus (Draft version May 28, 2008)

Calculus Deconstructed......Page 1
Preface......Page 7
Idiosyncracies......Page 8
How to use this book......Page 9
Acknowledgements......Page 10
Contents......Page 13
1.1 Numbers and Notation in History......Page 15
1.2 Numbers, Points, and the Algebra of Inequalities......Page 18
1.3 Intervals......Page 23
Sequences and their Limits......Page 29
2.1 Real Sequences......Page 30
2.2 Limits of Real Sequences......Page 34
2.3 Convergence to Unknown Limits......Page 49
2.4 Finding limits......Page 61
2.5 Bounded Sets......Page 83
2.6 The Bisection Algorithm (Optional)......Page 96
Continuity......Page 101
3.1 Continuous Functions......Page 103
3.2 The Intermediate Value Theorem and Implicit Functions......Page 121
3.3 Extreme Values and Bounds for Functions......Page 133
3.4 Limits of Functions......Page 142
3.5 Discontinuities......Page 162
3.6 Exponentials and Logarithms......Page 167
3.7 Epsilons and Deltas (Optional)......Page 176
Differentiation......Page 185
4.1 Slope, Speed and Tangents......Page 187
4.2 Formal Di erentiation I: The Algebra of Derivatives......Page 199
4.3 Formal Di erentiation II: Exponentials and Logarithms......Page 221
4.4 Formal Di erentiation III: Inverse Functions......Page 230
4.5 Formal Di erentiation IV: The Chain Rule and Implicit Di erentiation......Page 236
4.6 Related Rates......Page 247
4.7 Extrema Revisited......Page 257
4.8 Geometric Application of Limits and Derivatives......Page 279
4.9 Mean Value Theorems......Page 290
4.9......Page 297
4.10 L'Hopital's Rule and Indeterminate Forms......Page 302
4.11 Continuity and Derivatives (Optional)......Page 316
Integration......Page 329
5.1 Area and the De nition of the Integral......Page 331
5.2 General Theory of the Riemann Integral......Page 355
5.3 The Fundamental Theorem of Calculus......Page 373
5.4 Secrets of Formal Integration: Manipulation Formulas......Page 389
5.5 Trigonometric tricks......Page 404
5.6 Integration of Rational Functions......Page 414
5.7 Improper Integrals......Page 442
5.8 Geometric Applications of Riemann Sums......Page 456
5.9 Riemann's Characterization of Integrable Functions (Optional)......Page 474
Power Series......Page 481
6.1 Local Approximation of Functions by Polynomials......Page 482
6.2 Convergence of Series......Page 503
6.3 Unconditional Convergence......Page 519
6.4 Convergence of Power Series......Page 528
6.5 Handling Power Series......Page 536
6.6 Complex Numbers and Analytic Functions (Optional)......Page 571
The Rhetoric of Mathematics (Methods of Proof)......Page 579
Verifi
cation and Example......Page 581
Proof by Contradiction......Page 583
Mathematical Induction......Page 584
1.3......Page 587
2.1......Page 588
2.2......Page 589
2.3......Page 590
2.4......Page 591
3.1......Page 592
3.2......Page 593
3.4......Page 594
3.6......Page 595
4.1......Page 596
4.2......Page 597
4.3......Page 598
4.6......Page 599
4.7......Page 600
4.8......Page 601
4.10......Page 605
5.2......Page 606
5.3......Page 609
5.5......Page 610
5.7......Page 611
5.8......Page 612
6.1......Page 613
6.4......Page 614
6.5......Page 615
6.6......Page 616
Bibliography......Page 619
Index......Page 624