Bounded and compact integral operators

مونگ‌نگار برخی از نتایج اخیر و اصلی نویسندگان را در مورد مشکلات کران و فشردگی در فضاهای تابع Banach هم برای عملگرهای کلاسیک و هم برای تبدیل‌های انتگرال تعریف شده، به طور کلی، در فضاهای غیرهمگن ارائه می‌کند. این کتاب بر روی عملگرهای انتگرالی که به طور طبیعی در مسائل ارزش مرزی برای PDE به وجود می آیند، تئوری طیفی عملگرهای دیفرانسیل، مکانیک پیوسته و کوانتومی، فرآیندهای تصادفی و غیره تمرکز دارد. و از نظر فشردگی یکی از ویژگی‌های مونوگراف این است که اکثر گزاره‌های اثبات‌شده در اینجا دارای شکل معیار هستند. این معیارها ما را قادر می‌سازند، برای مثال، مثال‌های صریح مختلفی از جفت فضاهای تابع Banach وزن‌دار را ارائه کنیم که بر مرزبندی/فشردگی کلاس وسیعی از عملگرهای انتگرال حاکم است. کتاب دارای دو بخش اصلی است. بخش اول، متشکل از فصل های 1-5، بررسی عملگرهای کلاسیک را پوشش می دهد: تبدیل های نوع هاردی، انتگرال های کسری، پتانسیل ها و توابع حداکثر. هدف اصلی ما ارائه یک توصیف کامل از آن فضاهای تابع Banach است که عملگرهای فوق الذکر به صورت محدود (معامله) عمل می کنند. هنگامی که یک عملگر معین محدود نباشد (فشرده)، به عنوان مثال در برخی از فضای Lebesgue، ما به دنبال فضاهای وزنی هستیم که در آن حد (فشرده بودن) برقرار است. ما ایده‌ها و تکنیک‌هایی را برای استخراج شرایط مناسب، از نظر وزن‌ها، که معادل محدودیت (فشردگی) هستند، توسعه می‌دهیم.

The monograph presents some of the authors' recent and original results concerning boundedness and compactness problems in Banach function spaces both for classical operators and integral transforms defined, generally speaking, on nonhomogeneous spaces. Itfocuses onintegral operators naturally arising in boundary value problems for PDE, the spectral theory of differential operators, continuum and quantum mechanics, stochastic processes etc. The book may be considered as a systematic and detailed analysis of a large class of specific integral operators from the boundedness and compactness point of view. A characteristic feature of the monograph is that most of the statements proved here have the form of criteria. These criteria enable us, for example, togive var­ ious explicit examples of pairs of weighted Banach function spaces governing boundedness/compactness of a wide class of integral operators. The book has two main parts. The first part, consisting of Chapters 1-5, covers theinvestigation ofclassical operators: Hardy-type transforms, fractional integrals, potentials and maximal functions. Our main goal is to give a complete description of those Banach function spaces in which the above-mentioned operators act boundedly (com­ pactly). When a given operator is not bounded (compact), for example in some Lebesgue space, we look for weighted spaces where boundedness (compact­ ness) holds. We develop the ideas and the techniques for the derivation of appropriate conditions, in terms of weights, which are equivalent to bounded­ ness (compactness).