Boundary Value Problems for Transport Equations

در نظریه مدرن مسائل ارزش مرزی، رویکرد زیر برای بررسی مورد توافق قرار گرفته است (ما آن را رویکرد عملکردی می نامیم): برخی از فضاهای عملکردی انتخاب می شوند. عبارات ارزش مرزی اساس این فضاها را اثبات می کند. و حل‌پذیری لم‌ها بر روی مسائل، ویژگی‌های راه‌حل‌ها، و وابستگی آنها به داده‌های اصلی مسائل مورد تجزیه و تحلیل قرار می‌گیرد. این مراحل بر اساس بیان صحیح مسائل مختلف فیزیک ریاضی (یا تعریف مسائل بد) قرار می گیرند. به عنوان مثال، اگر حل‌پذیری یک مسئله در فضاهای کاربردی انتخاب‌شده نمی‌تواند مشخص شود، احتمالاً دلیل آن در انتخاب رضایت‌بخش آنها نیست. سپس تجزیه و تحلیل باید با استفاده از فضاهای کاربردی دیگر تکرار شود. مسائل بیضوی می تواند به عنوان نمونه ای از مسائل کلاسیک باشد که با این رویکرد تحلیل می شوند. تحقیقات آنها تعدادی مفاهیم و نتایج جدید را در نظریه فضاهای سوبولف W;(D) به ارمغان آورد که به نوبه خود ما را قادر ساخت یک نظریه کاملاً کامل از حل پذیری معادلات بیضوی ایجاد کنیم. امروزه تئوری ریاضی مسائل انتقال تابشی و معادلات جنبشی یک حوزه گسترده از فیزیک ریاضی مدرن است. کاربردهای مختلفی در اخترفیزیک، نظریه راکتورهای هسته ای، ژئوفیزیک، نظریه فرآیندهای شیمیایی، نظریه نیمه هادی ها، مکانیک سیالات و غیره دارد. 98، 120، 124، 125، 135، 146].

In the modern theory of boundary value problems the following ap­ proach to investigation is agreed upon (we call it the functional approach): some functional spaces are chosen; the statements of boundary value prob­ the basis of these spaces; and the solvability of lems are formulated on the problems, properties of solutions, and their dependence on the original data of the problems are analyzed. These stages are put on the basis of the correct statement of different problems of mathematical physics (or of the definition of ill-posed problems). For example, if the solvability of a prob­ lem in the functional spaces chosen cannot be established then, probably, the reason is in their unsatisfactory choice. Then the analysis should be repeated employing other functional spaces. Elliptical problems can serve as an example of classical problems which are analyzed by this approach. Their investigations brought a number of new notions and results in the theory of Sobolev spaces W;(D) which, in turn, enabled us to create a sufficiently complete theory of solvability of elliptical equations. Nowadays the mathematical theory of radiative transfer problems and kinetic equations is an extensive area of modern mathematical physics. It has various applications in astrophysics, the theory of nuclear reactors, geophysics, the theory of chemical processes, semiconductor theory, fluid mechanics, etc. [25,29,31,39,40, 47, 52, 78, 83, 94, 98, 120, 124, 125, 135, 146].