Boundary Behaviour of Conformal Maps

ما رفتار مرزی یک نقشه منسجم از دیسک واحد را روی یک دامنه صفحه دلخواه به سادگی متصل می‌کنیم. هدف اصلی این نظریه به دست آوردن یک مطابقت یک به یک بین خصوصیات تحلیلی تابع و خواص هندسی حوزه است. در کاربردهای کلاسیک نگاشت هم‌شکل، دامنه توسط یک منحنی صاف تکه‌ای محدود می‌شود. با این حال، در بسیاری از برنامه های کاربردی اخیر، دامنه دارای مرز بسیار بدی است. ممکن است مانند مجموعه های جولیا هیچ مماس نداشته باشد. سپس نقشه منسجم دارای ویژگی های غیرمنتظره زیادی است، به عنوان مثال تقریباً تمام مرزها تقریباً روی هیچ نگاشت می شوند و بالعکس. این کتاب برای دو گروه از کاربران در نظر گرفته شده است. (1) دانشجویان فارغ التحصیل و دیگرانی که در سطوح مختلف می خواهند در مورد نقشه برداری همسان بیاموزند. بیشتر بخش‌ها شامل تمرین‌هایی برای آزمایش درک هستند. آنها نسبتاً ساده هستند و فقط تعداد کمی حاوی مواد جدید هستند. پیش نیازها، تحلیل‌های واقعی و پیچیده عمومی از جمله حقایق اساسی در مورد نقشه‌برداری منسجم (مانند AhI66a) هستند. (2) افراد غیرمتخصصی که می‌خواهند ایده‌ای از جنبه خاصی از نقشه‌برداری confor mal به دست آورند تا چیزی مفید برای کار خود بیابند. بنابراین، بیشتر فصل‌ها با یک مرور کلی شروع می‌شوند که برخی از نتایج کلیدی را با اجتناب از مسائل فنی بیان می‌کند. این کتاب به عنوان یک بررسی جامع از نقشه‌برداری منسجم نیست. چندین جنبه مهم باید حذف می شد، به عنوان مثال. روش های عددی (به عنوان مثال

We study the boundary behaviour of a conformal map of the unit disk onto an arbitrary simply connected plane domain. A principal aim of the theory is to obtain a one-to-one correspondence between analytic properties of the function and geometrie properties of the domain. In the classical applications of conformal mapping, the domain is bounded by a piecewise smooth curve. In many recent applications however, the domain has a very bad boundary. It may have nowhere a tangent as is the case for Julia sets. Then the conformal map has many unexpected properties, for instance almost all the boundary is mapped onto almost nothing and vice versa. The book is meant for two groups of users. (1) Graduate students and others who, at various levels, want to learn about conformal mapping. Most sections contain exercises to test the understand­ ing. They tend to be fairly simple and only a few contain new material. Pre­ requisites are general real and complex analyis including the basic facts about conformal mapping (e.g. AhI66a). (2) Non-experts who want to get an idea of a particular aspect of confor­ mal mapping in order to find something useful for their work. Most chapters therefore begin with an overview that states some key results avoiding tech­ nicalities. The book is not meant as an exhaustive survey of conformal mapping. Several important aspects had to be omitted, e.g. numerical methods (see e.g.