Boolean Algebras

تئوری جبرهای بولی دو جنبه دارد. جبری و مجموعه نظری. جبر بولی را می توان به عنوان یک نوع خاص از حلقه جبری، یا به عنوان تعمیم مفهوم نظری مجموعه ای از مجموعه ها در نظر گرفت. قضایای بنیادین در هر دو این جهت مدیون M.H. STONE است که مقالات او عصر جدیدی را در توسعه این نظریه گشوده است. این اثر به جنبه نظری مجموعه می پردازد، با کمی اشاره به جبری. کتاب از دو فصل و یک پیوست تشکیل شده است. فصل اول به مطالعه جبرهای بولی فقط از نقطه نظر عملیات بولی محدود اختصاص دارد. بخش بیشتری از مطالب آن را می توان در کتاب های BIRKHOFF [2J و HERMES [1] یافت. به نظر می رسد فصل دوم اولین مطالعه سیستماتیک جبرهای بولی با عملیات بولی بی نهایت باشد. برای درک فصول I و II فقط دانستن مفاهیم بنیادی از نظریه مجموعه های عمومی و توپولوژی نظری مجموعه ها کافی است. هیچ تاقچه ای از نظریه شبکه یا جبر انتزاعی فرض نمی شود. قضایای توپولوژیکی کمتر آشنا یادآوری می شوند و تنها چند نمونه از ابزارهای توپولوژیکی پیشرفته تری استفاده می کنند. اما ممکن است این موارد حذف شوند. تمام قضایای هر دو فصل با برهان کامل ارائه شده است.

There are two aspects to the theory of Boolean algebras; the algebraic and the set-theoretical. A Boolean algebra can be considered as a special kind of algebraic ring, or as a generalization of the set-theoretical notion of a field of sets. Fundamental theorems in both of these directions are due to M. H. STONE, whose papers have opened a new era in the develop­ ment of this theory. This work treats the set-theoretical aspect, with little mention being made of the algebraic one. The book is composed of two chapters and an appendix. Chapter I is devoted to the study of Boolean algebras from the point of view of finite Boolean operations only; a greater part of its contents can be found in the books of BIRKHOFF [2J and HERMES [1]. Chapter II seems to be the first systematic study of Boolean algebras with infinite Boolean operations. To understand Chapters I and II it suffices only to know fundamental notions from general set theory and set-theoretical topology. No know­ ledge of lattice theory or of abstract algebra is presumed. Less familiar topological theorems are recalled, and only a few examples use more advanced topological means; but these may be omitted. All theorems in both chapters are given with full proofs.