Binary Quadratic Forms: Classical Theory and Modern Computations

اولین توضیح منسجم از نظریه اشکال درجه دوم باینری توسط گاوس در Disqnisitiones Arithmeticae ارائه شد. در طول قرن نهم، زمانی که نظریه آرمان ها و مبانی نظریه اعداد جبری توسعه یافت، مشخص شد که این نظریه اشکال درجه دوم دوتایی، بسیار ابتدایی و صریح محاسباتی، در واقع فقط یک مورد خاص از یک مرثیه بسیار بیشتر است. nt و نظریه انتزاعی که متأسفانه از نظر محاسباتی صریح نیست. در سال های اخیر نظریه اصلی کنار گذاشته شده است. اثبات های گاوس، که شامل محاسبات نیروی بی رحم است که می تواند در فضایی که اساساً یک فضای برداری دو بعدی است انجام شود، به نفع استدلال های n بعدی که قضایای کلی اعداد جبری نظریه را اثبات می کند، کنار گذاشته شده اند. در نتیجه، این تئوری زیبا و در عین حال به طرز دلپذیری ساده نادیده گرفته شده است، حتی به دلیل اینکه برخی از نتایج آن در محاسبات خاص بسیار مفید بوده است. من این غفلت را مایه تاسف می دانم، زیرا فرم های درجه دوم دوتایی دو جاذبه متمایز دارند. اول، موضوع شامل محاسبات صریح است و بسیاری از برنامه های کامپیوتری می توانند بسیار ساده باشند. استفاده از كامپيوتر در آزمايش مثال ها هم معنادار و هم لذت بخش است. در واقع می‌توان با محاسبه مثال‌ها، مشاهده الگوها در \"داده‌ها\" و سپس اثبات اینکه الگوها از نتیجه‌گیری یک قضیه قابل اثبات نتیجه می‌شوند، نتایج جالبی کشف کرد.

The first coherent exposition of the theory of binary quadratic forms was given by Gauss in the Disqnisitiones Arithmeticae. During the nine­ teenth century, as the theory of ideals and the rudiments of algebraic number theory were developed, it became clear that this theory of bi­ nary quadratic forms, so elementary and computationally explicit, was indeed just a special case of a much more elega,nt and abstract theory which, unfortunately, is not computationally explicit. In recent years the original theory has been laid aside. Gauss's proofs, which involved brute force computations that can be done in what is essentially a two­ dimensional vector space, have been dropped in favor of n-dimensional arguments which prove the general theorems of algebraic number the­ ory. In consequence, this elegant, yet pleasantly simple, theory has been neglected even as some of its results have become extremely useful in certain computations. I find this neglect unfortunate, because binary quadratic forms have two distinct attractions. First, the subject involves explicit computa­ tion and many of the computer programs can be quite simple. The use of computers in experimenting with examples is both meaningful and enjoyable; one can actually discover interesting results by com­ puting examples, noticing patterns in the "data," and then proving that the patterns result from the conclusion of some provable theorem.