Best Approximation in Inner Product Spaces

این کتاب برگرفته از یادداشت‌هایی است که در ابتدا برای دوره تحصیلات تکمیلی، «بهترین تقریب در فضاهای خطی هنجاردار» تهیه شده بود، که بیش از 25 سال پیش در دانشگاه پن استیت شروع به ارائه آن کردم. خیلی زود آشکار شد. بسیاری از دانش‌آموزانی که می‌خواستند این دوره را بگذرانند (از جمله مهندسان، دانشمندان کامپیوتر و آماردانان و همچنین ریاضیدانان) پیش‌نیازهای لازم مانند دانش کاری از فضاهای Lp و برخی تحلیل‌های عملکردی اولیه را نداشتند. (امروزه چنین مطالبی معمولاً در دوره تحصیلات تکمیلی سال اول در تجزیه و تحلیل موجود است. ) برای گنجاندن این دانشجویان، معمولاً تقریباً نیمی از دوره را صرف این پیش نیازها می‌کردم و نیمه آخر را به "بهترین تقریب" اختصاص می‌دادم. بخش من این کار را چند بار انجام دادم و به این نتیجه رسیدم که رضایت بخش نیست: زمان زیادی صرف پیش نیازهای فرضی شده است. برای اینکه بتوانم بیشتر دوره را به "بهترین تقریب" اختصاص دهم، تصمیم گرفتم روی ساده ترین فضاهای خطی هنجاردار - فضاهای محصول داخلی - تمرکز کنم، زیرا تئوری در فضاهای محصول داخلی را می توان از اصول اولیه در بسیاری از موارد آموزش داد. زمان کمتر، و همچنین از آنجایی که می توان استدلال قانع کننده ای ارائه داد که به هر حال فضاهای محصول درونی مهمترین فضاهای خطی نرمال هستند. موفقیت این رویکرد حتی بهتر از آن چیزی بود که من در ابتدا پیش‌بینی می‌کردم: می‌توان از اصول اولیه یک نظریه نسبتاً کامل از بهترین تقریب در فضاهای محصول درونی ایجاد کرد و هدف من از نوشتن این کتاب چنین بود.

This book evolved from notes originally developed for a graduate course, "Best Approximation in Normed Linear Spaces," that I began giving at Penn State Uni­ versity more than 25 years ago. It soon became evident. that many of the students who wanted to take the course (including engineers, computer scientists, and statis­ ticians, as well as mathematicians) did not have the necessary prerequisites such as a working knowledge of Lp-spaces and some basic functional analysis. (Today such material is typically contained in the first-year graduate course in analysis. ) To accommodate these students, I usually ended up spending nearly half the course on these prerequisites, and the last half was devoted to the "best approximation" part. I did this a few times and determined that it was not satisfactory: Too much time was being spent on the presumed prerequisites. To be able to devote most of the course to "best approximation," I decided to concentrate on the simplest of the normed linear spaces-the inner product spaces-since the theory in inner product spaces can be taught from first principles in much less time, and also since one can give a convincing argument that inner product spaces are the most important of all the normed linear spaces anyway. The success of this approach turned out to be even better than I had originally anticipated: One can develop a fairly complete theory of best approximation in inner product spaces from first principles, and such was my purpose in writing this book.