Bernoulli Numbers and Zeta Functions

دو موضوع اصلی در این کتاب بررسی شده است. یکی از آنها نظریه اعداد برنولی و دیگری نظریه توابع زتا است. از لحاظ تاریخی، اعداد برنولی برای ارائه فرمول هایی برای مجموع توان های اعداد صحیح متوالی معرفی شدند. با این حال، دلیل واقعی ضروری بودن آنها برای نظریه اعداد در این واقعیت نهفته است که مقادیر ویژه تابع زتای ریمان را می توان با استفاده از اعداد برنولی نوشت. این منجر به موضوعات پیشرفته تری می شود که تعدادی از آنها در این کتاب مورد بررسی قرار می گیرند: اظهارات تاریخی در مورد اعداد برنولی و فرمول مجموع توان های اعداد صحیح متوالی. فرمول اعداد برنولی توسط اعداد استرلینگ. قضیه کلاوزن-فون استاد در مورد مخرج اعداد برنولی. تطابق کومر بین اعداد برنولی و تئوری مرتبط با معیارهای p-adic. فرمول جمع اویلر- مکلارین. معادله تابعی تابع زتا ریمان و توابع دیریکله L و مقادیر ویژه آنها در اعداد صحیح مناسب. فرمول های مختلف مجموع نمایی بیان شده توسط اعداد برنولی تعمیم یافته. رابطه بین طبقات ایده آل از راسته های میدان های درجه دوم و کلاس های هم ارزی اشکال درجه دوم باینری. فرمول شماره کلاس برای اشکال درجه دوم باینری قطعی مثبت. همخوانی بین برخی از اعداد کلاس و اعداد برنولی. توابع زتای ساده فضاهای برداری پیش همگن؛ اعداد هورویتز؛ توابع زتا چندگانه بارنز و مقادیر ویژه آنها. معادله تابعی توابع زتا مضاعف. و اعداد پلی برنولی. ضمیمه ای از دان زاگر در مورد هویت های عجیب و غریب برای اعداد برنولی نیز ارائه شده است. این کتاب هم برای آماتورها و هم برای محققان حرفه ای لذت بخش خواهد بود. از آنجایی که روابط منطقی بین فصول به طور ضعیفی به هم مرتبط هستند، خوانندگان می توانند بسته به علایق خود با هر فصلی شروع کنند. شرح موضوعات همیشه معمولی نیستند و برخی از بخش‌ها کاملاً جدید هستند.

Two major subjects are treated in this book. The main one is the theory of Bernoulli numbers and the other is the theory of zeta functions. Historically, Bernoulli numbers were introduced to give formulas for the sums of powers of consecutive integers. The real reason that they are indispensable for number theory, however, lies in the fact that special values of the Riemann zeta function can be written by using Bernoulli numbers. This leads to more advanced topics, a number of which are treated in this book: Historical remarks on Bernoulli numbers and the formula for the sum of powers of consecutive integers; a formula for Bernoulli numbers by Stirling numbers; the Clausen–von Staudt theorem on the denominators of Bernoulli numbers; Kummer's congruence between Bernoulli numbers and a related theory of p-adic measures; the Euler–Maclaurin summation formula; the functional equation of the Riemann zeta function and the Dirichlet L functions, and their special values at suitable integers; various formulas of exponential sums expressed by generalized Bernoulli numbers; the relation between ideal classes of orders of quadratic fields and equivalence classes of binary quadratic forms; class number formula for positive definite binary quadratic forms; congruences between some class numbers and Bernoulli numbers; simple zeta functions of prehomogeneous vector spaces; Hurwitz numbers; Barnes multiple zeta functions and their special values; the functional equation of the double zeta functions; and poly-Bernoulli numbers. An appendix by Don Zagier on curious and exotic identities for Bernoulli numbers is also supplied. This book will be enjoyable both for amateurs and for professional researchers. Because the logical relations between the chapters are loosely connected, readers can start with any chapter depending on their interests. The expositions of the topics are not always typical, and some parts are completely new.