リーマンと代数関数論 = Bernhard Riemann and the Theory of Algebraic Functions : 西欧近代の数学の結節点

まえがき
	リーマンの名に親しみを深めたころ
	数学憧憬
	古典への回帰
	歴史をたどる
	楕円関数論からアーベル関数論へ
	ヒルベルトの夢と岡潔の夢―多変数代数関数論の展望
目次
凡例
第1章　代数関数とは何か―オイラーの関数概念とその変容
	1 関数概念を振り返って
		関数のいろいろ
		ヤコビ関数の等分理論
		オイラーの関数概念
		関数を分類すること
		オイラーの代数関数
		超越関数の世界
		陽関数と陰関数
		代数関数と代数方程式論
	2 関数の世界と曲線の世界
		不定直線と変化量
		切除線
		不定直線と関数
		曲線の解析的源泉
		連続曲線
		代数的な曲線
		超越的な曲線
		関数という言葉のはじまりをめぐって
		オイラーの第2の関数
		オイラーの第3の関数
	3 ディリクレとコーシーの関数概念
		ディリクレの1価対応
		関数の連続性をめぐって(1)
		コーシーの関数
		コーシーの代数関数
		関数の連続性をめぐって(2)
		代数関数の連続性とは
第2章　カナリアのように歌う―リーマンの「面」の発見
	1 修業時代
		リーマン点描
		ハノーファーのギムナジウムとリューネブルクのギムナジウム
		カナリアのように歌う
	2 ベルリンの数学者たち
		ルジューヌ・ディリクレ
		アイゼンシュタイン
		ヤコビの逆問題との出会い
	3 学位論文まで
		ゲッチンゲンにもどって
		関数概念の回想にはじまる
		リーマンの関数とは
		関数論講義
		複素関数論の成立
	4 コーシーの複素関数論
		高木貞治『近世数学史談』より
		ヴァルソンのコーシー伝
		二つの積分路と閉曲線
		コーシーの1825年の論文の印象
		複素変数の複素関数
		テイラー展開の収束円
		一番近い特異点までの距離の測定
		代数関数のテイラー展開
		代数方程式のパラメータつきの根と代数関数
		コーシーの関数論研究の波瀾曲折の30年
		「コーシーの定理」と解析関数
		関数の解析性をめぐって
	5 リーマン面のアイデアを語る
		ガウスの所見
		ガウスの手紙
		ガウスの複素積分
		ガウスと「コーシーの定理」
		対数関数の無限多価性
		ヴァイエルシュトラスの解析的形成体と代数的形成体
		ガウス平面
		ガウス平面（続）
		ガウス平面からリーマン面へ
		ワイルのリーマン面
	6 マジョーレ湖畔で終焉を迎える
第3章　楕円関数論のはじまり―楕円関数の等分と変換に関するアーベルの理論
	I 楕円関数論の二つの起源―萌芽の発見と虚数乗法論への道
		1 楕円関数論の二つの流れ―変換理論と等分理論
			虚数乗法論の原型の発見―楕円関数の等分理論
			代数的微分方程式の解法理輪としての変換理論とその起源
			レムニスケート曲線の等分理論
		2 ファニャノの楕円積分論
			楕円の弧長測定
			双曲線の弧長測定
			レムニスケート曲線の弧長測定(1) 楕円と双曲線の弧長測定への還元
			レムニスケート曲線の弧長測定(2) 全弧の幾何学的2等分
			レムニスケート曲線の弧長測定(3) 任意の弧の幾何学的2等分
			レムニスケート曲線の弧長測定(4) 全弧の幾何学的3等分
			レムニスケート曲線の弧長測定(5) 全弧の幾何学的5等分
		3 変換理論の諸相
			求長不能曲線の弧の比較
			レムニスケート曲線の弧の比較
			倍角の公式と変数分離型微分方程式
			レムニスケート積分の加法公式
			微分方程式 \\dfrac{mdx}{\\sqrt{1-x^4}}＝\\dfrac{ndy}{\\sqrt{1-y^4}} の代数的積分
			オイラー以降の変換理論
		4 楕円関数の等分に関するアーベルの理論
			アーベルの変換理論
			二潮流の融合と虚数乗法論への道
	II クレルレの手紙
		1 ペテルブルクとゲッチンゲンからの手紙
		2 ヤコビの言葉とルジャンドルの言葉
		3 ルジャンドルの所見
		4 ベルリンヘの招待
	III アーベルとルジャンドルの往復書簡より
		1 ルジャンドルからアーベルヘ（1828年10月25日）
			往復書簡のはじまり
			加法定理を語る
			ヤコビの賞賛を受ける
			著書謹呈
			ヤコビの著作『楕円関数の理論の新しい基礎』
			アーベルの著作の計画
			モジュラー方程式をめぐって
		2 アーベルからルジャンドルヘ（1828年11月25日）
			ルジャンドルの疑問に答える
			有理関数による変換
			楕円積分の加法定理
			加法定理の意義
			第1種逆関数と楕円関数
			加法定理を語る
			楕円関数の加法定理
			任意個数の楕円関数（楕円積分）の相互比較
			代数方程式論を語る
		3 ルジャンドルからアーベルヘ（1829年1月16日）
			ルジャンドルの返信
			アーベルの「諸注意」を賞賛する
			4番目の楕円関数
			アーベルの代数方程式論を語る
第4章　アーベル関数の理論―ヤコビの逆問題の探究
	I 「パリの論文」からアーベル関数論へ
		1 代数的微分式の積分
			ディリクレの原理をめぐって
			アーベル関数の理論
			「パリの論文」の序文より
			超楕円積分の加法定理
		2 アーベルの加法定理
			加法定理（その1）アーベルの定理
			加法定理（その2）超楕円積分の加法定理
			「2頁の大論文」
			アーベルの加法定理
		3 加法定理と微分方程式
			指数関数と対数積分
			正弦関数と円積分
			楕円関数と楕円積分
		4 超楕円積分とヤコビ関数
			ヤコビ関数
			微分方程式系の積分とアーベルの加法定理
			ヤコビの逆問題
		5 ヴァイエルシュトラスとヤコビの逆問題
			「アーベル関数」をめぐって
			ヴァイエルシュトラスとヤコビの逆問題
			微分型のヤコビの逆問題
			Θ関数をめぐって
		6 リーマンのアーベル関数論
			リーマンの論文に見るアーベルの定理
			ワイル『リーマン面のイデー』に見るアーベルの定理
			リーマンのアーベル関数論におけるヤコビの逆問題
			隠されたヤコビ関数
			ワイル『リーマン面のイデー』に見るヤコビの逆問題
			ヤコビの逆問題の解析的な解決
		7 複素多様体と多変数関数論との別れ
			トポスアトポス(topos atopos)―場所のない場所から
	II アーベル積分の等分と変換に関するヤコビとエルミートの理論
		1 歴史的概観
		2 楕円積分と楕円関数
		3 アーベル積分とアーベル関数
		4 アーベルの加法定理
		5 ヤコビの逆問題
		6 2変数4重周期関数
		7 ヤコビの逆問題とリーマン面
		8 超楕円積分の等分と変換
		9 隠された領域―数論とアーベル積分論
第5章　多変数代数関数論の夢―リーマンを越えて
	1 ガウスの『アリトメチカ研究』とヒルベルトの第12問題
		ガウスの『アリトメチカ研究』に由来する数学の五つの流れ
		岡潔の第7論文「三，四のアリトメチカ的概念について」
		「アーベルの定理」と「アーベルの加法定理」
		ヤコビの逆問題
		ヒルベルトの第12問題とヤコビ関数
	2 岡潔の遺稿「リーマンの定理」と多変数代数関数論の夢
		晩年の遺稿「リーマンの定理」
		「研究室文書」を見て
		ピカールとシマールの著作『2個の独立変数の代数関数の理論』
		代数的リーマン領域
		第10論文
		新代数関数論
		微分方程式に向う
		微分方程式と代数関数論
		リーマンの定理とは
		最後の研究
		落穂拾い―リーマンを語る
あとがき
	上村先生の問い
	リーマン面をめぐって
	楕円関数と楕円積分について
	ヤコビの逆問題は成長する
	多変数代数関数論の夢
	多変数関数論形成史への道
参考文献
	まえがき
	第1章
	第2章
	第3章
	第4章
	第5章
	あとがき
	参考文献補遺
数学者人名表
索引
	人名索引
	事項索引