Bernhard Riemann 1826–1866: Wendepunkte in der Auffassung der Mathematik

دانش‌آموزان قبلاً با انتگرال ریمان آشنا می‌شوند، نظریه‌های توابع واقعی و پیچیده مبتنی بر مفاهیم و قضایای مهم ریمان هستند، هندسه ریمان برای نظریه گرانش اینشتین و بسط آن ضروری است، و در نظریه اعداد حدس معروف ریمان هنوز باز است. ریمان و دوستش ریچارد ددکیند، که پنج سال از او کوچکتر بود، خود را شاگردان گاوس و دیریکله می دیدند. در حدود اواسط قرن نوزدهم، آنها گذار به "ریاضیات مدرن" را آغاز کردند، یکی در تجزیه و تحلیل و هندسه، دیگری در جبر با تمرکز بر مجموعه ها و ساختارها. این کتاب اولین تلاش برای خلاصه کردن کار علمی ریمان از دیدگاهی واحد است. ریمان را یکی از فیلسوفان در بین ریاضیدانان می دانند. او تفکر مفهومی را در کنار دیدگاه الگوریتمی غالب قبلی از ریاضیات قرار داد که موضوعات مورد بررسی را در فرمول ها و شکل ها، در تبدیل اصطلاحات و ساختارهای مبتنی بر قاعده به عنوان تنها روش های مشروع می دید. دیوید هیلبرت به عنوان اصل ریمان اشاره کرده است که برهان ها با محاسبه محدود نمی شوند، بلکه فقط با تفکر محدود می شوند. هرمان ویل به عنوان اصل ریمان در ریاضیات و فیزیک، "جهان را به عنوان انگیزه معرفت شناختی ... برای درک جهان از رفتار آن در بی نهایت کوچک" می دانست.

Das Riemannsche Integral lernen schon die Schüler kennen, die Theorien der reellen und der komplexen Funktionen bauen auf wichtigen Begriffsbildungen und Sätzen Riemanns auf, die Riemannsche Geometrie ist für Einsteins Gravitationstheorie und ihre Erweiterungen unentbehrlich, und in der Zahlentheorie ist die berühmte Riemannsche Vermutung noch immer offen. Riemann und sein um fünf Jahre jüngerer Freund Richard Dedekind sahen sich als Schüler von Gauss und Dirichlet. Um die Mitte des 19. Jahrhunderts leiteten sie den Übergang zur "modernen Mathematik" ein, der eine in Analysis und Geometrie, der andere in der Algebra mit der Hinwendung zu Mengen und Strukturen. Dieses Buch ist der erste Versuch, Riemanns wissenschaftliches Werk unter einem einheitlichen Gesichtspunkt zusammenzufassend darzustellen. Riemann gilt als einer der Philosophen unter den Mathematikern. Er stellte das Denken in Begriffen neben die zuvor vorherrschende algorithmische Auffassung von der Mathematik, welche die Gegenstände der Untersuchung, in Formeln und Figuren, in Termumformungen und regelhaften Konstruktionen als die allein legitimen Methoden sah. David Hilbert hat als Riemanns Grundsatz herausgestellt, die Beweise nicht durch Rechnung, sondern lediglich durch Gedanken zu zwingen. Hermann Weyl sah als das Prinzip Riemanns in Mathematik und Physik, "die Welt als das erkenntnistheoretische Motiv..., die Welt aus ihrem Verhalten im un- endlich kleinen zu verstehen."