Aufgaben und Lösungen zur Höheren Mathematik 2

Vorwort
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
Teil I
Lineare Algebra
	1 Gruppen und Körper
		Übersicht
		1.1 Gruppe der linearen Funktionen
		1.2 Untergruppen der Kongruenzabbildungen eines Quadrates
		1.3 Untergruppe generiert durch eine Permutation
		1.4 Rechnen mit Permutationen in Zyklenschreibweise
		1.5 Zyklendarstellung, Vorzeichen und Hintereinanderschaltung von Permutationen
		1.6 Mathematik-Online Schiebepuzzle
		1.7 Verknüpfungstabelle einer Permutationsgruppe
		1.8 Gleichungssystem mit zwei Unbekannten über einem Primkörper
		1.9 Identitäten in Modulo-Arithmetik
		1.10 Turniertabellen und Primkörper
		1.11 Größter gemeinsamer Teiler von zwei Polynomen
		1.12 Chinesischer Restsatz für drei Kongruenzen
	2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
		Übersicht
		2.1 Unterräume des Vektorraums der Polynome
		2.2 Schnitt von Unterräumen
		2.3 Eigenschaften reeller Skalarprodukte
		2.4 Lineare Unabhängigkeit von Vektoren im
		2.5 Lineare Unabhängigkeit und Basis im
		2.6 Punkt im Dreieck als Konvexkombination
		2.7 Basis mit Parameter
		2.8 Basis eines Polynomraums
		2.9 Ergänzung zu einer komplexen orthogonalen Basis und Koeffizientenbestimmung
		2.10 Orthogonale Basis einer Hyperebene und Projektion
		2.11 Orthogonale Basis für einen Polynomraum
		2.12 Basis zu einer Gramschen Matrix
	3 Lineare Abbildungen und Matrizen
		Übersicht
		3.1 Linearität von Abbildungen
		3.2 Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
		3.3 3 × 2-Matrix zu Urbild-Bild-Paaren
		3.4 Matrix der Projektion auf eine Ebene
		3.5 Matrix eines Basiswechsels
		3.6 Normen einer 3 × 2-Matrix
		3.7 Affine Abbildungen
		3.8 Affine Abbildungen in homogenen Koordinaten
		3.9 Matrix-Produkte
		3.10 Vervollständigung einer Matrizen-Gleichung
		3.11 Multiplikation schwach besetzter Matrizen
		3.12 Nilpotente Matrizen
		3.13 Matrizen und binomische Formeln
		3.14 Kommutierende 3 × 3-Matrizen 
		3.15 Cholesky-Faktorisierung
		3.16 Rechnen mit adjungierten Matrizen
		3.17 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für den Kern
		3.18 Rang einer Matrix und orthogonale Basis für das Bild
	4 Determinanten
		Übersicht
		4.1 Verschiedene Methoden zur Berechnung einer 3 × 3-Determinante
		4.2 Determinanten von 3 × 3-Matrizen
		4.3 Rechnen mit Determinanten
		4.4 Umformung von 3 × 3-Determinanten
		4.5 Entwicklung einer 4 × 4-Determinante
		4.6 Gleichung einer Ebene durch drei Punkte
		4.7 Determinante einer 5 × 5-Matrix 
		4.8 Determinante einer dünn besetzten 5 × 5-Matrix
		4.9 Determinanten von Matrizen mit Block-Struktur
		4.10 Rekursion für die Determinante einer tridiagonalen Matrix
		4.11 Determinante einer n × n-Matrix
	5 Lineare Gleichungssysteme
		Übersicht
		5.1 Cramersche Regel für ein lineares Gleichungssystem
(3 × 3)
		5.2 Rationale Interpolation
		5.3 Lineares Gleichungssystem (4 × 4)
		5.4 Affine Transformation zu gegebenen Bildpunkten
		5.5 Punkte innerhalb und außerhalb eines Dreiecks
		5.6 Tridiagonales lineares Gleichungssystem (5 × 5)
		5.7 Elektrischer Schaltkreis
		5.8 Bauer Marcus
		5.9 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 4)
		5.10 Zeilenstufenform und allgemeine Lösung eines linearen Gleichungssystems (3 × 5)
		5.11 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (2 × 2)
		5.12 Lösbarkeit eines linearen Gleichungssystems mit Parameter (3 × 3)
		5.13 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (3 × 3)
		5.14 Lineares Gleichungssystem mit Parameter (4 × 3)
		5.15 Inverse einer symmetrischen 3 × 3-Matrix
		5.16 Inverse einer 3 × 3-Matrix
		5.17 Rang-1-Aktualisierung einer inversen Matrix
	6 Eigenwerte und Normalformen
		Übersicht
		6.1 Eigenwerte und Eigenvektoren von 2 × 2-Matrizen
		6.2 Eigenwerte und Eigenvektoren einer 3 × 3-Matrix
		6.3 Eigenvektoren von 3 × 3-Matrizen mit dreifachen
Eigenwerten
		6.4 Eigenwerte von Permutationsmatrizen
		6.5 Eigenvektoren einer symmetrischen 4 × 4-Matrix
		6.6 Abschätzung von Gerschgorin
		6.7 Diagonalisierung einer 3 × 3-Matrix
		6.8 Diagonalform einer orthogonalen symmetrischen 3 × 3-Matrix
		6.9 Dritte Wurzel einer 2 × 2-Matrix
		6.10 Eigenwerte und Inverse einer zyklischen 4 × 4-Matrix
		6.11 Normalität und Eigenvektoren einer 2 × 2-Matrix mit
Parameter
		6.12 Jordan-Form einer 3 × 3-Matrix
		6.13 Grenzwert bei einer 3-Term-Rekursion
		6.14 Marktanteile konkurrierender Firmen 
	7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
		Übersicht
		7.1 Ausgleichsgerade zu drei Datenpaaren
		7.2 Ausgleichsproblem (3 × 2)
		7.3 Gewichtetes Ausgleichsproblem
		7.4 Gerade mit kürzesten Abständen zu gegebenen Punkten 
		7.5 Ausgleichsebene
		7.6 Rekonstruktion eines Kreises aus gestörten Daten
		7.7 Pseudo-Inverse einer 4 × 3-Matrix und ihrer
Transponierten
		7.8 Singulärwertzerlegung und Pseudoinverse einer 3 × 2-Matrix
		7.9 Lösung eines Ausgleichsproblems mit der
Singulärwertzerlegung
		7.10 Lineare Approximation einer Abbildung 
		7.11 Korrektur von Höhenmessungen 
		7.12 Rekursion bei Ausgleichsproblemen 
		7.13 Iterative Lösung von Ausgleichsproblemen
	8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
		Übersicht
		8.1 Matrix-Darstellung einer Spiegelung
		8.2 Projektion und Spiegelung, bestimmt durch eine Gerade
		8.3 Drehachse und Drehwinkel
		8.4 Matrixdarstellung einer Drehung
		8.5 Drehmatrix, die gegebene Vektoren ineinander überführt
		8.6 Drehung als Komposition zweier Spiegelungen
		8.7 Zerlegung einer Drehung in Drehungen um die Koordinatenachsen
		8.8 Gleichung einer Ellipse
		8.9 Hyperbel durch einen Punkt zu gegebenen Brennpunkten
		8.10 Hauptachsentransformation eines Kegelschnitts
		8.11 Normalform eines Kegelschnitts
		8.12 Rationale Parametrisierung eines Kegelschnitts
		8.13 Normalform und Typ einer parameterabhängigen Quadrik
		8.14 Gleichung einer Quadrik
		8.15 Normalform, Typ und Hauptachsenlängen einer Quadrik
	9 Tests
		Übersicht
		9.1 Gruppen und Körper
		9.2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
		9.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
		9.4 Determinanten
		9.5 Lineare Gleichungssysteme
		9.6 Eigenwerte und Normalformen
		9.7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
		9.8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
Teil II
Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
	10 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
		Übersicht
		10.1 Stetigkeit im Ursprung
		10.2 Höhenlinien und Schnitte einer bivariaten Funktion
		10.3 Grenzwerte bivariater Funktionen
		10.4 Sierpinski-Folgen
		10.5 Partielle Ableitungen bivariater Funktionen
		10.6 Partielle Ableitungen eines Polynoms
		10.7 Partielle Ableitungen trivariater Funktionen
		10.8 Höhere partielle Ableitungen von trivariaten Funktionen
		10.9 Partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung einer trivariaten Funktion
		10.10 Partielle Ableitungen bis zur dritten Ordnung einer bivariaten Funktion
		10.11 Spezielle Lösungen partieller Differentialgleichungen
		10.12 Jacobi-Matrizen (2 × 1, 1 × 2, 2 × 3)
		10.13 Jacobi-Matrizen (2 × 4, 3 × 3)
		10.14 Restglied der linearen Approximation mit Hilfe der Jacobi-Matrix
	11 Kettenregel und Richtungsableitung
		Übersicht
		11.1 Erste und zweite partielle Ableitungen eines Ausdrucks mit einer quadratischen Form
		11.2 Erste und zweite partielle Ableitungen radialsymmetrischer Funktionen
		11.3 Kettenregel für den Gradienten einer bivariaten zusammengesetzten Funktion
		11.4 Kettenregel für Jacobi-Matrizen
		11.5 Jacobi-Matrix bei Komposition und Invertierung von Funktionen
		11.6 Partielle Ableitungen und Polarkoordinaten
		11.7 Ableitung einer trivariaten Funktion entlang einer Kurve
		11.8 Richtungsableitungen trivariater Funktionen
		11.9 Richtungsableitung und Abstiegsrichtungen einer bivariaten Funktion
		11.10 Steigungen bei einer Bergwanderung
	12 Inverse und implizite Funktionen
		Übersicht
		12.1 Jacobi-Matrix der Umkehrabbildung
		12.2 Inverse und Jacobi-Matrizen für eine trivariate Funktion
		12.3 Tangente einer algebraischen Kurve
		12.4 Tangente und lokale Parametrisierung einer implizit definierten Kurve
		12.5 Lokale Parametrisierung einer Schnittkurve
		12.6 Lokale Auflösbarkeit einer trivariaten Gleichung
		12.7 Auflösbarkeit von zwei nichtlinearen Gleichungen
		12.8 Implizite Differentiation und Tangentialebene
	13 Anwendungen partieller Ableitungen
		Übersicht
		13.1 Kontrahierende univariate Abbildungen
		13.2 Banachscher Fixpunktsatz für eine univariate Abbildung
		13.3 Gestörtes lineares Gleichungssystem
		13.4 Newton-Verfahren für ein System zweier nichtlinearer Gleichungen
		13.5 Tangenten ebener Kurven
		13.6 Krümmung ebener Kurven
		13.7 Tangentialebenen für implizit und parametrisch definierte Flächen
		13.8 Schnittgerade zweier Tangentialebenen
		13.9 Fehlerfortpflanzung bei der Lösung einer quadratischen Gleichung
	14 Taylor-Entwicklung
		Übersicht
		14.1 Bivariate quadratische Taylor-Approximation mit Hilfe bekannter Entwicklungen
		14.2 Restglied eines bivariaten quadratischen Taylor-Polynoms
		14.3 Quadratisches Taylor-Polynom einer trivariaten Funktion
		14.4 Jacobi-Matrix und Abschätzung des Taylor-Restglieds
		14.5 Taylor-Reihe einer bivariaten Wurzelfunktion
		14.6 Auflösbarkeit einer nichtlinearen Gleichung und Taylor-Approximation
		14.7 Lineare Taylor-Approximation einer inversen Matrix
	15 Extremwerte
		Übersicht
		15.1 Kritische Punkte bivariater quadratischer Funktionen
		15.2 Kritische Punkte eines bivariaten Polynoms
		15.3 Nullstellenmenge und kritische Punkte einer bivariaten Funktion
		15.4 Extremwerte eines trivariaten Polynoms
		15.5 Minimum einer quadratischen Funktion auf einem Rechteck
		15.6 Extrema einer bivariaten Funktion entlang einer Kurve
		15.7 Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung
		15.8 Extrema einer trivariaten linearen Funktion unter einer quadratischen Nebenbedingung
		15.9 Extrema einer Funktion auf der Sphäre
		15.10 Quadratisches Optimierungsproblem
		15.11 Abstand eines Kegelschnitts vom Ursprung
		15.12 Extrema einer linearen Funktion unter Ungleichungsnebenbedingungen
		15.13 US-Mailbox
	16 Tests
		Übersicht
		16.1 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
		16.2 Kettenregel und Richtungsableitung
		16.3 Inverse und Implizite Funktionen
		16.4 Anwendungen partieller Ableitungen
		16.5 Taylor-Entwicklung
		16.6 Extremwerte
Teil III
Mehrdimensionale Integration
	17 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
		Übersicht
		17.1 Elementare Doppelintegrale
		17.2 Trigonometrische Doppelintegrale
		17.3 Doppelintegrale mit Exponentialfunktionen
		17.4 Doppelintegral einer rationalen Funktion
		17.5 Vertauschung der Integrationsreihenfolge bei Doppelintegralen
		17.6 Elementare Dreifachintegrale
		17.7 Integration über die Vereinigungsmenge zweier Ellipsen
		17.8 Integral über einen Pyramidenstumpf
		17.9 Quadraturformel für ein Dreieck
		17.10 Integration über einen Tetraeder
		17.11 Volumen eines Polyeders
		17.12 Darstellung und Volumen eines Schnittkörpers
		17.13 Volumina von Rohranschlussstücken
	18 Transformationssatz
		Übersicht
		18.1 Integration über Parallelogramme
		18.2 Integral einer quadratischen Funktion über ein Dreieck
		18.3 Transformationssatz für ein Gebiet in Polarkoordinaten
		18.4 Integral einer linearen Funktion über einen Spat
		18.5 Integration eines Polynoms über einen polynomial parametrisierten ebenen Bereich
		18.6 Volumen verschiedener Tori
	19 Kurven- und Flächenintegrale
		Übersicht
		19.1 Länge einer spiralförmigen Kurve und Kurvenintegral
		19.2 Parametrisierung und Länge einer Hypozykloide
		19.3 Berechnung von Flächenelementen
		19.4 Integral über ein Parallelogramm
		19.5 Integral über eine Fläche mit polynomialer Parametrisierung
		19.6 Flächeninhalt und Randlänge eines Funktionsgraphen
	20 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
		Übersicht
		20.1 Flächeninhalt und Umfang eines in Polarkoordinaten beschriebenen Bereichs
		20.2 Integration über einen elliptischen Kegel
		20.3 Integrale über einen Zylinder und eine Kugel
		20.4 Integral über eine Kugelkappe
		20.5 Oberfläche eines Rohrs mit ausgestanztem Loch
		20.6 Integral über eine Zylinderoberfläche
		20.7 Integrale über eine Kugeloberfläche
		20.8 Mittelwert der Abstandsfunktion für eine Sphäre
		20.9 Vivianische Kurve
	21 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
		Übersicht
		21.1 Volumen von Rotationskörpern bezüglich unterschiedlicher Achsen
		21.2 Profil und Volumen einer Vase
		21.3 Volumen und Mantelfläche eines Rotationskörpers
		21.4 Oberfläche eines Reifens
		21.5 Guldinsche Regel für Volumina von Rotationskörpern
		21.6 Volumen und Mantelfläche eines Hyperboloids
		21.7 Geometrischer Schwerpunkt einer Eistüte
		21.8 Flächenschwerpunkt eines Paraboloids
		21.9 Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Kegelstumpfes
		21.10 Masse, Schwerpunkt und Trägheitsmoment eines Paraboloids
	22 Partielle Integration
		Übersicht
		22.1 Hauptsatz bei Kugel und Sphäre
		22.2 Vereinfachung eines uneigentlichen Integrals mit Hilfe partieller Integration
		22.3 Partielle Integration für einen Zylinder
		22.4 Erste Greensche Formel für ein Dreieck
		22.5 Greensche Formel für eine Kugel
		22.6 Fundamentallösung der bivariaten Poisson-Gleichung
	23 Tests
		Übersicht
		23.1 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
		23.2 Transformationssatz
		23.3 Kurven- und Flächenintegrale
		23.4 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
		23.5 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
		23.6 Partielle Integration
Teil IV
Anwendungen mathematischer Software
	24 MATLAB®
		Übersicht
		24.1 Produkte von Matrizen und Vektoren mit MATLAB®
		24.2 Lineare Gleichungssysteme mit MATLAB®
		24.3 Interpolation mit radialen Funktionen mit MATLAB®
		24.4 Polynomapproximation mit MATLAB®
		24.5 Gauß-Parameter mit MATLAB®
		24.6 Gauß-Seidel-Verfahren mit MATLAB®
		24.7 Jacobi-Iteration für die Poisson-Gleichung mit MATLAB®
		24.8 Eigenwerte und Eigenvektoren mit MATLAB®
		24.9 Ausgleichsprobleme mit MATLAB®
		24.10 Normalform einer Quadrik mit MATLAB®
		24.11 Darstellung von Quadriken in MATLAB®
		24.12 Mengenoperationen mit R-Funktionen in MATLAB®
		24.13 Visualisierung bivariater Funktionen mit MATLAB®
		24.14 Kubische Splinekurven mit MATLAB®
		24.15 Kubische Splineinterpolation mit MATLAB®
		24.16 Minimierung mit MATLAB®
		24.17 Gauß-Newton-Verfahren mit MATLAB®
		24.18 Doppel- und Dreifachintegrale mit MATLAB®
		24.19 Subdivision von Spline-Flächen mit MATLAB®
		24.20 Monte-Carlo-Integration mit MATLAB®
	25 Maple™
		Übersicht
		25.1 Eingabe und Multiplikation von Matrizen und Vektoren mit Maple™
		25.2 Gram-Schmidt-Orthogonalisierung mit Maple™
		25.3 Lösen linearer Gleichungssysteme mit Maple™
		25.4 Eigenwerte und Jordanform mit Maple™
		25.5 Lösen nichtlinearer Gleichungssysteme mit Maple™
		25.6 Gleichung eines rational parametrisierten Kegelschnitts mit Maple™
		25.7 Partielle Ableitungen mit Maple™
		25.8 Multivariate Taylor-Entwicklung mit Maple™
		25.9 Epizykloiden mit Maple™
		25.10 Algorithmus von De Casteljau mit Maple™
		25.11 Maple™ -Animation von Regelflächen
		25.12 Gebietstransformation für ein Doppelintegral mit Maple™
		25.13 Flächenberechnung mit Maple™
		25.14 Konstruktion eines 1000-Liter Fasses mit Maple™
Teil V
Formelsammlung
	26 Lineare Algebra
		Übersicht
		26.1 Gruppen und Körper
		26.2 Vektorräume, Skalarprodukte und Basen
		26.3 Lineare Abbildungen und Matrizen
		26.4 Determinanten
		26.5 Lineare Gleichungssysteme
		26.6 Eigenwerte und Normalformen
		26.7 Ausgleichsprobleme und Singulärwertzerlegung
		26.8 Spiegelungen, Drehungen, Kegelschnitte und Quadriken
	27 Differentialrechnung in mehreren Veränderlichen
		Übersicht
		27.1 Stetigkeit, partielle Ableitungen und Jacobi-Matrix
		27.2 Kettenregel und Richtungsableitung
		27.3 Inverse und implizite Funktionen
		27.4 Anwendungen partieller Ableitungen
		27.5 Taylor-Entwicklung
		27.6 Extremwerte
	28 Mehrdimensionale Integration
		Übersicht
		28.1 Volumina und Integrale über Elementarbereiche
		28.2 Transformationssatz
		28.3 Kurven- und Flächenintegrale
		28.4 Integration in Zylinder- und Kugelkoordinaten
		28.5 Rotationskörper, Schwerpunkt und Trägheitsmoment
		28.6 Partielle Integration
	Literaturverzeichnis