Asymptotische Methoden zur Lösung von Differentialgleichungen

WTB حاضر مقدمه‌ای بر نظریه روش‌های مجانبی برای حل مسائل معادلات دیفرانسیل است. سؤالات اساسی این مسئله قبلاً در نیمه دوم قرن گذشته مطرح شده بود. در 20 سال گذشته، کاربردهای مهم در فیزیک و فناوری، مطالعه روش‌های مجانبی را به کانون توجه خود بازگردانده است و منجر به بسط نظریه‌ای شده است که اکنون آماده کاربرد است. به منظور استفاده بیشتر از این روش‌ها، در حال حاضر مهم است که ویژگی‌های اساسی آن‌ها برای دایره وسیع‌تری از کاربران قابل دسترسی باشد. WTB باید این وظیفه را انجام دهد. بنابراین هدف اصلی آن مهندسان، فیزیکدانان و ریاضیدانانی است که در عمل کار می کنند. در آموزش می توان از آن برای طراحی سمینارها استفاده کرد. از آنجایی که حل دقیق معادلات دیفرانسیل تنها در موارد خاص موفق است، روش های تقریب از اهمیت بالایی برخوردار هستند. اساساً بین روش‌های تقریب عددی و مجانبی تفاوت قائل می‌شود. در حل تقریبی مسائل معادلات دیفرانسیل، روش های عددی به طور کلی ارزش خود را ثابت کرده اند. اما اگر برای محاسبه تقریبی حل معادلات دیفرانسیل در مجاورت تکینگی ها استفاده شوند، معمولاً ناپایدار می شوند. برای چنین مسائلی، روش های تقریب مجانبی مناسب تر هستند. به دلایل روش شناختی، یک نمایش ساده مطابق با هدف این WTB انتخاب شد.

Das vorliegende WTB stellt eine Einführung in die Theorie der asymptotischen Methoden zur Lösung von Differentialgleiehungsproblemen dar. Mit den Grund­ fragen dieser Problematik beschäftigte man sich bereits in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts. In den letzten 20 Jahren haben wichtige Anwendungsfälle der Physik und Technik das Studium der asymptotischen Methoden wieder in den Mittelpunkt des Interesses ge­ rückt und Anlaß zur Ausarbeitung einer nunmehr an­ wendungsreifen Theorie gegeben. Zur stärkeren Nutzung dieser Methoden kommt es gegenwärtig darauf an, sie in ihren Grundzügen einem breiteren Kreis von Anwendern zugänglich zu machen. Diese Aufgabe soll das WTB er­ füllen. Es wendet sich daher vorwiegend an in der Praxis tätige Ingenieure, Physiker und Mathematiker. In der Ausbildung kann es zur Gestaltung von Seminaren dienen. Da die exakte Lösung von Differentialgleichungen nur in Sonderfällen gelingt, besitzen die Näherungsmethoden eine große Bedeutung. Im wesentlichen unterscheidet man numerische und asymptotische Näherungsmethoden. Bei der angenäherten Lösung von Differentialgleichungs­ problemen haben sich die numerischen Methoden im all­ gemeinen bewährt. Benutzt man sie jedoch zur approxi­ mativen Berechnung der Lösungen von Differential­ gleichungen in Umgebung von Singularitäten, so werden sie meistens instabil. Bei derartigen Problemen sind die asymptotischen Näherungsmethoden geeigneter. Aus methodischen Gründen wurde eine der Zielstellung dieses WTB entsprechende einfache Darstellung gewählt.