Asymptotic Analysis: Linear Ordinary Differential Equations

در این کتاب ما نتایج اصلی را در مورد نظریه مجانبی معادلات و سیستم‌های دیفرانسیل خطی معمولی ارائه می‌کنیم که در آن یک پارامتر کوچک در مشتقات بالاتر وجود دارد. ما به رفتار راه حل ها با توجه به پارامتر و مقادیر بزرگ متغیر مستقل توجه داریم. ادبیات مربوط به این سوال قابل توجه و پراکنده است، اما روش های اثبات به اندازه کافی مشابه هستند تا این مطالب به عنوان یک کتاب مرجع در کنار هم قرار گیرند. ما خود را به معادلات همگن محدود کرده ایم. رفتار مجانبی یک معادله ناهمگن را می توان از رفتار مجانبی سیستم بنیادی مربوطه از راه حل ها با استفاده از روش هایی برای استخراج کران مجانبی در انتگرال های مربوطه به دست آورد. ما به طور سیستماتیک از مفهوم بسط مجانبی استفاده می کنیم که جزئیات آن را در صورت لزوم می توان در [Wasow 2, Olver 6] یافت. با "حل مجانبی رسمی" (F.A.S.) تابعی درک می شود که معادله را تا حدی از دقت برآورده می کند. اگرچه این مفهوم دقیقاً تعریف نشده است، اما معنای آن همیشه از متن مشخص است. همچنین متذکر می شویم که اصطلاح \"خط استوکس\" استفاده شده در این کتاب معادل اصطلاح \"خط ضد استوکس\" است که در ادبیات فیزیک استفاده شده است.

In this book we present the main results on the asymptotic theory of ordinary linear differential equations and systems where there is a small parameter in the higher derivatives. We are concerned with the behaviour of solutions with respect to the parameter and for large values of the independent variable. The literature on this question is considerable and widely dispersed, but the methods of proofs are sufficiently similar for this material to be put together as a reference book. We have restricted ourselves to homogeneous equations. The asymptotic behaviour of an inhomogeneous equation can be obtained from the asymptotic behaviour of the corresponding fundamental system of solutions by applying methods for deriving asymptotic bounds on the relevant integrals. We systematically use the concept of an asymptotic expansion, details of which can if necessary be found in [Wasow 2, Olver 6]. By the "formal asymptotic solution" (F.A.S.) is understood a function which satisfies the equation to some degree of accuracy. Although this concept is not precisely defined, its meaning is always clear from the context. We also note that the term "Stokes line" used in the book is equivalent to the term "anti-Stokes line" employed in the physics literature.