Around the Unit Circle: Mahler Measure, Integer Matrices and Roots of Unity

ویرایش: [1 ed.] 
نویسندگان: James McKee. Chris Smyth  
سری: Universitext 
ISBN (شابک) : 303080030X, 9783030800307 
ناشر: Springer 
سال نشر: 2022 
تعداد صفحات: 458
[444] 
زبان: English 
فرمت فایل : PDF (درصورت درخواست کاربر به PDF، EPUB یا AZW3 تبدیل می شود) 
حجم فایل: 6 Mb 

قیمت کتاب (تومان) : 58,000

اندازه گیری مالر، تابع ارتفاع برای چندجمله ای ها، موضوع اصلی این کتاب است. خواص جالب بسیاری دارد که با روش های جبری، تحلیلی و ترکیبی به دست می آید. این موضوع موضوع چندین سؤال حل نشده طولانی مدت است، مانند مسئله لمر (1933) و حدس بوید (1981). این کتاب شامل طیف گسترده ای از نتایج در مورد اندازه گیری مالر است. برخی از نتایج بسیار جدید هستند، مانند اثبات حدس شینزل-زاسنهاوس توسط دیمیتروف. سایر نتایج شناخته شده با شواهد جدید و کارآمد گنجانده شده است. حدس‌های رابینسون (1965) برای اعداد صحیح سیکلوتومیک، و تابع ارتفاع Cassels مرتبط با آنها نیز برای اولین بار در یک کتاب مورد بحث قرار گرفته‌اند.

یکی از راه‌های مطالعه اعداد صحیح جبری، مرتبط کردن آنها با اشیاء ترکیبی، مانند ماتریس‌های عدد صحیح است. در برخی از این تنظیمات ترکیبی، آنالوگ های چندین مسئله باز بدنام حل شده است، و کتاب این کار اخیر را تنظیم می کند. بسیاری از نتایج اندازه گیری مالر برای مجموعه های محدود از چند جمله ای ها، مانند چند جمله ای های کاملا واقعی، و چند جمله ای های متقابل ماتریس های متقارن اعداد صحیح و همچنین متقارن شدن، ثابت شده اند. برای مرجع، این کتاب شامل ضمیمه هایی است که زمینه لازم را از نظریه اعداد جبری، نظریه گراف و سایر پیش نیازها به همراه جداول چند جمله ای های صحیح یک و دو متغیره با اندازه مالر کوچک ارائه می دهد. همه قضایا به خوبی انگیزه دارند و به روشی قابل دسترس ارائه شده اند. تمرینات متعددی در سطوح مختلف از جمله برخی برای برنامه نویسی کامپیوتری ارائه شده است. طیف گسترده ای از مشکلات باز تحریک کننده نیز گنجانده شده است. در پایان هر فصل، واژه نامه ای از مفاهیم و تعاریف تازه معرفی شده وجود دارد.

در اطراف دایره واحد به سبکی دوستانه، شفاف، لذت بخش، بدون به خطر انداختن دقت ریاضی نوشته شده است. . این برای دوره های سخنرانی در سطح کارشناسی ارشد در نظر گرفته شده است، و همچنین مرجع ارزشمندی برای محققان علاقه مند به سنجش مالر خواهد بود. این کتاب درسی اساساً مستقل است، همچنین باید برای دانشجویان سطح بالایی که به خوبی آماده شده اند در دسترس باشد.

Mahler measure, a height function for polynomials, is the central theme of this book. It has many interesting properties, obtained by algebraic, analytic and combinatorial methods. It is the subject of several longstanding unsolved questions, such as Lehmer’s Problem (1933) and Boyd’s Conjecture (1981). This book contains a wide range of results on Mahler measure. Some of the results are very recent, such as Dimitrov’s proof of the Schinzel–Zassenhaus Conjecture. Other known results are included with new, streamlined proofs. Robinson’s Conjectures (1965) for cyclotomic integers, and their associated Cassels height function, are also discussed, for the first time in a book.

One way to study algebraic integers is to associate them with combinatorial objects, such as integer matrices. In some of these combinatorial settings the analogues of several notorious open problems have been solved, and the book sets out this recent work. Many Mahler measure results are proved for restricted sets of polynomials, such as for totally real polynomials, and reciprocal polynomials of integer symmetric as well as symmetrizable matrices. For reference, the book includes appendices providing necessary background from algebraic number theory, graph theory, and other prerequisites, along with tables of one- and two-variable integer polynomials with small Mahler measure. All theorems are well motivated and presented in an accessible way. Numerous exercises at various levels are given, including some for computer programming. A wide range of stimulating open problems is also included. At the end of each chapter there is a glossary of newly introduced concepts and definitions.

Around the Unit Circle is written in a friendly, lucid, enjoyable style, without sacrificing mathematical rigour. It is intended for lecture courses at the graduate level, and will also be a valuable reference for researchers interested in Mahler measure. Essentially self-contained, this textbook should also be accessible to well-prepared upper-level undergraduates.