Arithmetics

نظریه اعداد شاخه ای از ریاضیات است که حیات خود را از پیشینه تاریخی غنی می گیرد. همچنین به طور سنتی از طریق تعامل با سایر زمینه های تحقیقاتی مانند جبر، هندسه جبری، توپولوژی، تجزیه و تحلیل پیچیده و تجزیه و تحلیل هارمونیک تغذیه می شود. اخیراً این کتاب در زمینه علوم کامپیوتر نظری و در مسائل ارتباطات، رمزنگاری و کدهای تصحیح خطا ظاهری دیدنی پیدا کرده است.

این کتاب با ارائه مقدمه ای مقدماتی بر مباحث محوری در نظریه اعداد، ارائه شده است. حوزه های تحقیقاتی متعددی را در بر می گیرد. بخش اول مربوط به دوره لیسانس پیشرفته است. البته تمام عبارات ارائه شده در این بخش با براهین خود همراه است، شاید به استثنای برخی نتایج که در پایان فصل ها آمده است. فهرست فراوانی از تمرین‌ها با دشواری‌های متفاوت نیز در اینجا گنجانده شده است. بخش دوم سطح بالاتری است و مربوط به سال اول تحصیلات تکمیلی است. این شامل مقدمه‌ای بر منحنی‌های بیضوی و فصلی با عنوان «توسعه‌ها و مسائل باز» است که مضامین مختلفی را برای تحقیقات ریاضی در حال انجام معرفی و گرد هم می‌آورد.

با توجه به ماهیت چندوجهی نظریه اعداد، اهداف اصلی این کتاب عبارتند از:
- ارائه یک نمای کلی از اشکال مختلف ریاضیات مفید برای مطالعه اعداد
- نشان دادن ضرورت عمیق و مضامین کلاسیک مانند مجموع گاوس
- نقشی را که حساب در ریاضیات کاربردی مدرن ایفا می کند برجسته می کند
- شامل اثبات های اخیر مانند الگوریتم اولیه چند جمله ای
- رویکرد به موضوعات تحقیقات معاصر مانند منحنی های بیضوی
- زیبایی محاسبات را نشان دهید

پیش نیازهای این متن جبر سطح کارشناسی و کمی توپولوژی Rn است. این برای دانشجویان کارشناسی، فارغ التحصیلان و دانشجویان دکترا مفید خواهد بود، و همچنین ممکن است برای ریاضیدانان حرفه ای به عنوان متن مرجع جذاب باشد.

Number theory is a branch of mathematics which draws its vitality from a rich historical background. It is also traditionally nourished through interactions with other areas of research, such as algebra, algebraic geometry, topology, complex analysis and harmonic analysis. More recently, it has made a spectacular appearance in the field of theoretical computer science and in questions of communication, cryptography and error-correcting codes.

Providing an elementary introduction to the central topics in number theory, this book spans multiple areas of research. The first part corresponds to an advanced undergraduate course. All of the statements given in this part are of course accompanied by their proofs, with perhaps the exception of some results appearing at the end of the chapters. A copious list of exercises, of varying difficulty, are also included here. The second part is of a higher level and is relevant for the first year of graduate school. It contains an introduction to elliptic curves and a chapter entitled “Developments and Open Problems”, which introduces and brings together various themes oriented toward ongoing mathematical research.

Given the multifaceted nature of number theory, the primary aims of this book are to:
- provide an overview of the various forms of mathematics useful for studying numbers
- demonstrate the necessity of deep and classical themes such as Gauss sums
- highlight the role that arithmetic plays in modern applied mathematics
- include recent proofs such as the polynomial primality algorithm
- approach subjects of contemporary research such as elliptic curves
- illustrate the beauty of arithmetic

The prerequisites for this text are undergraduate level algebra and a little topology of Rn. It will be of use to undergraduates, graduates and phd students, and may also appeal to professional mathematicians as a reference text.