Apuntes de Teoria de la Medida

Medida
	Introducción Histórica.
	–álgebras de conjuntos
		Anillos, Álgebras y –álgebras.
		–álgebra de Bórel.
		El conjunto de Cantor.
		Clases monótonas
	Medida
		Definición y propiedades
	Extensión de medidas
		Medidas exteriores
		Teoremas de extensión de medidas
	Medidas de Lebesgue–Stieltjes
		Medidas de Lebesgue–Stieltjes en R.
		Medidas de Lebesgue–Stieltjes en Rn.
		Propiedades de la medida de Lebesgue.
	Medidas de Hausdorff
		Medidas exteriores métricas
		Las medidas de Borel Hp
		Medidas de Hausdorff en Rn.
		Conjuntos p–dimensionales
		Longitud de curvas de Rn.
	Apéndice
		Conjuntos de F y de F
		Cargas.
		Propiedades de haz en los espacios de medida.
		Aproximación de medibles
		Compleción
		Regularidad.
		Sobre los conjuntos Lebesgue medibles.
	Bibliografía y comentarios
Integración
	Introducción histórica
	Funciones medibles
		Propiedades de las funciones medibles
		Funciones simples
		Operaciones básicas de las funciones medibles.
		Existencia de Lebesgue medibles no de Borel.
	Integración
		Integral de funciones medibles
		Propiedades básicas de la integral.
	Teoremas básicos de integración
		Teorema de la carga
		Teorema convergencia monótona
		Integral de una suma
		Teorema de la convergencia dominada.
		Dependencia de un parámetro.
		Otras propiedades.
		Integrales de Riemann y de Lebesgue
	Bibliografía y comentarios
Espacio de medida producto
	Introducción
	Producto finito de espacios medibles
	Medida producto de dos espacios
		Medidas de transición
	El Teorema de Fubini
		Teorema de Fubini para dos espacios
	Compleción de la medida producto
	Aplicaciones
		Cálculo de volúmenes especiales
		Medida en la esfera invariante por rotaciones
		Convolución.
	Producto de mas de dos espacios
		Producto de n espacios medibles.
		Producto de infinitos espacios medibles.
	Bibliografía y comentarios
El Teorema de Radon–Nikodym
	Introducción
	Teorema de descomposición de carga
	Medidas reales y medidas complejas
	El Teorema de Radon–Nikodym
	Singularidad
	Bibliografía y comentarios
Diferenciación
	Introducción
	Diferenciación de medidas
	Derivación e integración
		Funciones de variación acotada.
		Medidas y funciones de variación acotada.
		Teorema fundamental del cálculo.
	Transformaciones diferenciables
		Transformaciones lineales.
		Transformaciones y medidas de Hausdorff.
	El teorema de cambio de variable
		Coordenadas polares
		Coordenadas esféricas
		Forma de volumen. Variedad Riemanniana
		Coordenadas hiperesféricas
	Cálculo de la constante n.
	Bibliografía y comentarios
Espacios de funciones medibles
	Los espacios Lp
		El espacio L.
	Los espacios de Banach Lp
		Desigualdades fundamentales.
		El espacio Lp para 0