Applied Asymptotic Methods in Nonlinear Oscillations

بسیاری از سیستم‌های دینامیکی با معادلات دیفرانسیل توصیف می‌شوند که می‌توان آنها را به یک بخش، شامل عبارت‌های خطی با ضرایب ثابت، و بخش دوم، نسبتاً کوچک در مقایسه با اولی، شامل عبارت‌های غیرخطی، تفکیک کرد. گفته می شود که چنین سیستمی ضعیف غیرخطی است. اصطلاحات کوچکی که سیستم را غیرخطی نشان می دهند، اغتشاش نامیده می شوند. یک سیستم غیرخطی ضعیف، شبه خطی نامیده می شود و توسط معادلات دیفرانسیل شبه خطی اداره می شود. ما علاقه مند به سیستم هایی خواهیم بود که در غیاب اغتشاشات به نوسانگرهای هارمونیک کاهش می یابند. این کتاب عمدتاً به روش‌های مجانبی کاربردی در نوسانات غیرخطی اختصاص دارد که با نام‌های N. M. Krylov، N. N. Bogoli ubov و Yu مرتبط است. A. Mitropolskii. مزایای روش های حاضر سادگی آنها، به ویژه برای محاسبه تقریب های بالاتر، و کاربرد آنها برای یک کلاس بزرگ از مسائل شبه خطی است. در این کتاب، ما اساساً خود را به طرح پیشنهادی کریلوف، بوگولیوبوف، همانطور که در تک نگاری ها بیان شده است، محدود می کنیم [6,211. ما از این روش ها استفاده می کنیم و همچنین آنها را برای حل مسائل جدید و کلاس های جدید معادلات دیفرانسیل غیرخطی توسعه و بهبود می دهیم. اگرچه این روش ها کاربردهای زیادی در مکانیک، فیزیک و تکنیک دارند، ما آنها را تنها با مثال هایی توضیح می دهیم که به وضوح قدرت آنها را نشان می دهد و خود بسیار مورد توجه است. مقدار معینی از مطالب پیشرفته‌تر نیز گنجانده شده است، که این کتاب را برای دوره‌های انتخابی ارشد یا دوره تحصیلات تکمیلی ابتدایی نوسانات غیرخطی مناسب می‌کند.

Many dynamical systems are described by differential equations that can be separated into one part, containing linear terms with constant coefficients, and a second part, relatively small compared with the first, containing nonlinear terms. Such a system is said to be weakly nonlinear. The small terms rendering the system nonlinear are referred to as perturbations. A weakly nonlinear system is called quasi-linear and is governed by quasi-linear differential equations. We will be interested in systems that reduce to harmonic oscillators in the absence of perturbations. This book is devoted primarily to applied asymptotic methods in nonlinear oscillations which are associated with the names of N. M. Krylov, N. N. Bogoli­ ubov and Yu. A. Mitropolskii. The advantages of the present methods are their simplicity, especially for computing higher approximations, and their applicability to a large class of quasi-linear problems. In this book, we confine ourselves basi­ cally to the scheme proposed by Krylov, Bogoliubov as stated in the monographs [6,211. We use these methods, and also develop and improve them for solving new problems and new classes of nonlinear differential equations. Although these methods have many applications in Mechanics, Physics and Technique, we will illustrate them only with examples which clearly show their strength and which are themselves of great interest. A certain amount of more advanced material has also been included, making the book suitable for a senior elective or a beginning graduate course on nonlinear oscillations.