Apartness and Uniformity: A Constructive Development

نظریه ارائه شده در این کتاب به صورت سازنده توسعه یافته است، بر اساس چند اصل بدیهی است که مفهوم اشیاء (نقاط و مجموعه ها) از هم جدا هستند، و هم توپولوژی مجموعه نقطه و هم نظریه فضاهای یکنواخت را در بر می گیرد. در حالی که نظریه کلاسیک مبتنی بر منطق فضاهای مجاورت، راهنمایی هایی برای نظریه جدایی ارائه می دهد، مفهوم نزدیکی/نزدیکی اطلاعات الگوریتمی کافی برای توسعه سازنده عمیق را در بر نمی گیرد. استفاده از منطق سازنده (شهودی) در این کتاب مستلزم نبوغ فنی بسیار بیشتری نسبت به نظریه مجاورت کلاسیک است -- اطلاعات الگوریتمی ارزان نیست -- اما اغلب تمایزاتی را آشکار می کند که توسط منطق کلاسیک نامرئی می شوند.

در فصل اول، نویسندگان منطق سازنده غیررسمی و نظریه مجموعه‌ها، و به طور خلاصه، مفاهیم و نمادهای اساسی برای فضاهای متریک و توپولوژیکی را بیان می‌کنند. در مرحله دوم آنها بدیهیات را برای جدایی مجموعه نقطه معرفی می کنند و سپس برخی از پیامدهای آن بدیهیات را بررسی می کنند. به طور خاص، آنها یک توپولوژی طبیعی مرتبط با فضای جدایی و روابط بین انواع مختلف تداوم نگاشت ها را بررسی می کنند. در فصل سوم، نویسندگان مفهوم مجموعه نقطه (پیش) جدایی را به طور بدیهی به یکی از (پیش) جدایی بین زیرمجموعه های یک مجموعه مسکونی گسترش می دهند. آنها سپس بدیهیاتی را برای یک فضای شبه یکنواخت ارائه می کنند که شاید مهم ترین نوع فضای جداسازی مجموعه ای باشد. فضاهای شبه یکنواخت نقش اصلی را در ادامه فصل ایفا می کنند، که موضوعاتی مانند ارتباط بین پیوستگی یکنواخت و قوی (از نظر فنی دشوارترین بخش کتاب)، جدایی و همگرایی در فضاهای عملکردی، انواع کامل بودن و مرتب بودن را پوشش می دهد. فشردگی هر فصل دارای بخش یادداشت‌هایی است که در آن نظراتی در مورد تعاریف، نتایج و برهان‌ها و همچنین اشاره‌های گاه به گاه برای کارهای آینده وجود دارد. این کتاب با یک Postlude به پایان می رسد که به سایر رویکردهای سازنده توپولوژی، با تأکید بر رابطه بین فضاهای جدایی و توپولوژی رسمی، اشاره می کند.

که عمدتاً توضیحی از تحقیقات خود نویسنده است، اولین کتابی است که به رویکرد جدایی به توپولوژی سازنده می پردازد و افزودنی ارزشمند به ادبیات ریاضیات سازنده و توپولوژی در علوم کامپیوتر است. این هدف برای دانشجویان فارغ التحصیل و محققان پیشرفته در علوم نظری کامپیوتر، ریاضیات و منطق است که به جنبه های سازنده/الگوریتمی توپولوژی علاقه مند هستند.

The theory presented in this book is developed constructively, is based on a few axioms encapsulating the notion of objects (points and sets) being apart, and encompasses both point-set topology and the theory of uniform spaces. While the classical-logic-based theory of proximity spaces provides some guidance for the theory of apartness, the notion of nearness/proximity does not embody enough algorithmic information for a deep constructive development. The use of constructive (intuitionistic) logic in this book requires much more technical ingenuity than one finds in classical proximity theory -- algorithmic information does not come cheaply -- but it often reveals distinctions that are rendered invisible by classical logic.

In the first chapter the authors outline informal constructive logic and set theory, and, briefly, the basic notions and notations for metric and topological spaces. In the second they introduce axioms for a point-set apartness and then explore some of the consequences of those axioms. In particular, they examine a natural topology associated with an apartness space, and relations between various types of continuity of mappings. In the third chapter the authors extend the notion of point-set (pre-)apartness axiomatically to one of (pre-)apartness between subsets of an inhabited set. They then provide axioms for a quasiuniform space, perhaps the most important type of set-set apartness space. Quasiuniform spaces play a major role in the remainder of the chapter, which covers such topics as the connection between uniform and strong continuity (arguably the most technically difficult part of the book), apartness and convergence in function spaces, types of completeness, and neat compactness. Each chapter has a Notes section, in which are found comments on the definitions, results, and proofs, as well as occasional pointers to future work. The book ends with a Postlude that refers to other constructive approaches to topology, with emphasis on the relation between apartness spaces and formal topology.

Largely an exposition of the authors' own research, this is the first book dealing with the apartness approach to constructive topology, and is a valuable addition to the literature on constructive mathematics and on topology in computer science. It is aimed at graduate students and advanced researchers in theoretical computer science, mathematics, and logic who are interested in constructive/algorithmic aspects of topology.