Anneaux

Table des matières......Page 6
Introduction......Page 10
0. Préliminaires......Page 20
1.1 Anneau, corps, homomorphisme, idéal......Page 32
1.2 Quotient d'un anneau, idéaux premiers, maximaux, nilpotents, diviseurs de zéro......Page 34
1.3 Produit d'anneaux......Page 36
1.4 Localisation, anneau local......Page 37
1.5 Racine d'un idéal, nilpotents......Page 40
1.6.1 Anneau principal, élément premier, la caractéristique d'un corps......Page 41
1.6.2 Plus grand commun diviseur dans un anneau principal......Page 43
1.6.3 Plus grand commun multiple......Page 44
1.6.4 Factorisation en premiers......Page 45
1.6.5 Les anneaux Z et K[X] ont une division euclidienne, et sont donc principaux......Page 47
1.6.6 Algorithme d'Euclide pour le pgcd et la relation de Bézout......Page 30
1.6.7 Le théorème des restes chinois et la structure de (Z/mZ)^X......Page 31
1.7 La décomposition des fractions rationnelles en éléments simples......Page 54
1.8 Anneau euclidien......Page 56
1.9 Exercices......Page 64
2.1 Modules, sous-modules, homomorphismes......Page 100
2.2 Quotient d'un module par un sous-module......Page 102
2.3.0 Somme et somme directe de sous-modules......Page 103
2.3.1 Module libre, rang......Page 104
2.4.1 Les définitions......Page 107
2.4.2 L'algèbre des polynômes, degré, propriété universelle......Page 109
2.4.3 La division euclidienne pour les anneaux de polynômes à une variable......Page 112
2.4.4 Algèbre de type fini......Page 113
2.4.5 L'algèbre des séries formelles, ordre, propriété universelle......Page 114
2.5 Racines d'un polynôme......Page 118
2.6 Restriction de l'anneau des scalaires pour un module......Page 122
2.7.0 Introduction......Page 124
2.7.1 Produit tensoriel de modules et sommes directes......Page 125
2.7.2 Produit tensoriel d'applications linéaires......Page 127
2.7.3 Restriction des scalaires et produit tensoriel......Page 128
2.7.4 Commutativité et associativité du produit tensoriel......Page 129
2.7.5 Le produit tensoriel est exact à droite......Page 130
2.7.6 Extension de l'anneau des scalaires......Page 133
2.7.7 Produit tensoriel d'algèbres......Page 137
2.8 Exercices......Page 140
3.1 Élément algébrique, extension algébrique......Page 168
3.2 Corps de rupture d'un polynôme......Page 171
3.3 Existence d'une clôture algébrique......Page 172
3.4.1 Le théorème de Wedderburn......Page 176
3.4.2 Structure des corps finis......Page 178
3.5 Extension normale......Page 179
3.6 Polynôme séparable, élément séparable, extension séparable......Page 181
3.7 Les extensions galoisiennes......Page 186
3.8 Exercices......Page 192
4.1 Les polynômes symétriques......Page 212
4.2 Fractions rationnelles symétriques......Page 216
4.3 Sommes de puissances......Page 217
4.4 Exercices......Page 220
5.1 Sous-module d'un module libre......Page 228
5.2 Module de torsion......Page 234
5.3 Exercices......Page 238
6.1 Modules noethériens......Page 244
6.2 Anneaux noethériens......Page 246
6.3 Le théorème de transfert......Page 247
6.4 Idéaux premiers minimaux ; le "rang" d'une matrice à coefficients dans un anneau......Page 248
6.5.1 Les idéaux maximaux de k[X1,X2,...,Xn]......Page 251
6.5.2 Le théorème des zéros de Hilbert......Page 254
6.6 Le théorème de transfert aux anneaux de séries formelles......Page 255
6.7 Exercices......Page 258
7.2 Anneau factoriel......Page 278
7.3 Théorème de transfert aux anneaux de polynômes......Page 281
7.5 Anneau de fraction d'un anneau factoriel......Page 283
7.6 La clôture intégrale d'un anneau factoriel......Page 285
7.7.1 Le résultant de deux polynômes......Page 286
7.7.2 Le résultant comme fonction symétrique des racines......Page 289
7.7.3 Discriminant d'un polynôme......Page 292
7.8 Factorialité de l'anneau des séries formelles ; le théorème de préparation......Page 293
7.9 Exercices......Page 298
8.1 Éléments entiers......Page 318
8.2 Prolongement des idéaux premiers......Page 319
8.3 Exercices......Page 322
9.1 Famille algébriquement libre (liée)......Page 330
9.2 Base de transcendance......Page 332
9.3 Le corps des fractions rationnelles à une variable, le théorème de Luroth......Page 335
9.4 Exercices......Page 338
Bibliographie......Page 368
Index des notations......Page 370
Index des noms......Page 372