Analytic-Bilinear Approach to Integrable Hierarchies

موضوع این کتاب سلسله مراتب معادلات انتگرال پذیر مرتبط با گروه های حلقه تک جزئی و چند جزئی است. انتشارات زیادی در مورد این موضوع وجود دارد و نسبتاً به خوبی تعریف شده است. بنابراین، نویسنده مایل است توضیح دهد که چرا ریسک بازنگری مجدد موضوع را پذیرفته است. رویکرد Sato Grassmannian و سایر رویکردهای استاندارد در این زمینه، ساختارهای عمیق ریاضی را در پایه سلسله مراتب ادغام‌پذیر نشان می‌دهند. این رویکردها بیشتر بر روی تصویر جبری متمرکز شده‌اند و از زبانی مناسب برای کاربرد در نظریه میدان کوانتومی استفاده می‌کنند. یکی دیگر از روش های شناخته شده، روش لباس پوشیدن، که توسط S. V. Manakov و V.E. زاخاروف، بیشتر به سیستم‌های خاص و کلاس‌های عملی راه‌حل‌های آنها معطوف است. تاکید بیشتری بر ویژگی های تحلیلی وجود دارد و این تکنیک با تجزیه و تحلیل پیچیده استاندارد مرتبط است. زبان روش a-dressing برای کاربردهای PDEهای غیرخطی قابل ادغام، معادلات گسسته غیرخطی قابل ادغام، و همانطور که اخیراً کشف شده است، برای کاربردهای سیستمهای انتگرال پذیر در هندسه پیوسته و گسسته مناسب است. انگیزه اصلی نویسنده رسمی کردن رویکرد به سلسله مراتب های بین المللی است که در زمینه روش پوشش الف توسعه یافته بود، با حفظ ساختارهای تحلیلی مشخصه این روش، اما ویژگی های طرح ساختاری را حذف کرد. و پیدا کردن یک شروع مطلوب بود.

The subject of this book is the hierarchies of integrable equations connected with the one-component and multi component loop groups. There are many publications on this subject, and it is rather well defined. Thus, the author would like t.o explain why he has taken the risk of revisiting the subject. The Sato Grassmannian approach, and other approaches standard in this context, reveal deep mathematical structures in the base of the integrable hi­ erarchies. These approaches concentrate mostly on the algebraic picture, and they use a language suitable for applications to quantum field theory. Another well-known approach, the a-dressing method, developed by S. V. Manakov and V.E. Zakharov, is oriented mostly to particular systems and ex­ act classes of their solutions. There is more emphasis on analytic properties, and the technique is connected with standard complex analysis. The language of the a-dressing method is suitable for applications to integrable nonlinear PDEs, integrable nonlinear discrete equations, and, as recently discovered, for t.he applications of integrable systems to continuous and discret.e geometry. The primary motivation of the author was to formalize the approach to int.e­ grable hierarchies that was developed in the context of the a-dressing method, preserving the analytic struetures characteristic for this method, but omitting the peculiarit.ies of the construetive scheme. And it was desirable to find a start.­