Analysis of finite difference schemes. For linear PDEs with generalized solutions

این کتاب یک نظریه ریاضی منظم و دقیق از روش‌های تفاضل محدود برای معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی، سهموی و هذلولی خطی با راه‌حل‌های غیرهموار ایجاد می‌کند.

روش‌های تفاضل محدود یک کلاس کلاسیک از تکنیک‌ها برای تقریب عددی هستند. معادلات دیفرانسیل جزئی به طور سنتی، تجزیه و تحلیل همگرایی آن‌ها صاف بودن ضرایب، عبارت‌های منبع، داده‌های اولیه و مرزی، و راه‌حل مربوط به معادله دیفرانسیل را پیش‌فرض می‌گیرد. سپس استفاده از ابزارهای تحلیلی اولیه برای کشف ثبات و دقت آنها را امکان پذیر می کند. با این حال مفروضات در مورد صاف بودن داده ها و راه حل تحلیلی مرتبط اغلب غیر واقعی هستند. انبوهی از مشکلات مرزی – و ارزش اولیه – وجود دارد که از کاربردهای مختلف در فیزیک و مهندسی ناشی می شود، جایی که داده ها و راه حل مربوطه فاقد نظم هستند.

در چنین مواردی، تکنیک های کلاسیک برای تجزیه و تحلیل خطا طرح های تفاضل محدود خراب می شوند. هدف این کتاب توسعه نظریه ریاضی طرح‌های تفاضل محدود برای معادلات دیفرانسیل جزئی خطی با راه‌حل‌های غیر هموار است. در نظریه ریاضی روش های عددی برای حل تقریبی معادلات دیفرانسیل جزئی.

This book develops a systematic and rigorous mathematical theory of finite difference methods for linear elliptic, parabolic and hyperbolic partial differential equations with nonsmooth solutions.

Finite difference methods are a classical class of techniques for the numerical approximation of partial differential equations. Traditionally, their convergence analysis presupposes the smoothness of the coefficients, source terms, initial and boundary data, and of the associated solution to the differential equation. This then enables the application of elementary analytical tools to explore their stability and accuracy. The assumptions on the smoothness of the data and of the associated analytical solution are however frequently unrealistic. There is a wealth of boundary – and initial – value problems, arising from various applications in physics and engineering, where the data and the corresponding solution exhibit lack of regularity.

In such instances classical techniques for the error analysis of finite difference schemes break down. The objective of this book is to develop the mathematical theory of finite difference schemes for linear partial differential equations with nonsmooth solutions.

Analysis of Finite Difference Schemes is aimed at researchers and graduate students interested in the mathematical theory of numerical methods for the approximate solution of partial differential equations.