Analysis I: Integral Representations and Asymptotic Methods

سری‌های بی‌نهایت، و نمایش‌های انتگرالی آنالوگ آنها، از نیمه دوم قرن هفتم شروع به ابزار ذهنی اساسی در تحلیل ریاضی شدند. آنها ابزاری را برای وارد کردن تمام o (به اصطلاح توابع استعلایی، از جمله توابع ابتدایی (لگاریتم، توابع نمایی و مثلثاتی) در تحلیل فراهم کرده اند. با کمک آنها حل بسیاری از معادلات دیفرانسیل، اعم از معمولی و جزئی. در واقع کل توسعه تجزیه و تحلیل ریاضی از نیوتن تا پایان قرن نوزدهم به نزدیکترین راه با توسعه دستگاه نمایش های سری و انتگرال مرتبط بود. علاوه بر این، بسیاری از تقسیمات انتزاعی ریاضیات (برای به عنوان مثال، آنالیز تابعی) به منظور مطالعه سری ها پدید آمدند و توسعه یافتند. در توسعه نظریه سری ها دو جهت اساسی را می توان مشخص کرد: یکی توجیه عملیات با سری های infmite، دیگری ایجاد تکنیک هایی برای استفاده از سری ها. در حل مسائل ریاضی و کاربردی هر دو جهت به طور موازی توسعه یافته اند. در ابتدا پیشرفت در جهت اول به طور قابل توجهی کمتر بود، اما، در نهایت، پیشرفت در جهت دوم همیشه دشوارتر بوده است.

Infinite series, and their analogues-integral representations, became funda­ mental tools in mathematical analysis, starting in the second half of the seven­ teenth century. They have provided the means for introducing into analysis all o( the so-called transcendental functions, including those which are now called elementary (the logarithm, exponential and trigonometric functions). With their help the solutions of many differential equations, both ordinary and partial, have been found. In fact the whole development of mathematical analysis from Newton up to the end of the nineteenth century was in the closest way connected with the development of the apparatus of series and integral representations. Moreover, many abstract divisions of mathematics (for example, functional analysis) arose and were developed in order to study series. In the development of the theory of series two basic directions can be singled out. One is the justification of operations with infmite series, the other is the creation oftechniques for using series in the solution of mathematical and applied problems. Both directions have developed in parallel Initially progress in the first direction was significantly smaller, but, in the end, progress in the second direction has always turned out to be of greater difficulty.