Analysis: Eine anwendungsbezogene Einführung

دانشجویان ریاضی اغلب با این مشکل مواجه می‌شوند: اصطلاحات ریاضی، جملات و روش‌های خوب فکر کردن برای عجله در تعداد زیاد چیست؟ نتایج برای چه مواردی مورد استفاده قرار می گیرند و ملاحظات بعدی به نوبه خود مبنای و نقطه شروع هستند؟ هدف از این مقدمه بر تحلیل، کمک به خواننده در پاسخ به این سؤالات و ارائه دلایلی برای مهمترین مفاهیم اساسی، رویکردها و اهداف حساب دیفرانسیل و انتگرال است. مسئله حل معادلات و سیستم معادلات یک مسئله کلیدی است. بر این اساس، مفهوم نگاشت، مفهوم همگرایی (تکرار)، پیوستگی (وجود راه حل)، تمایزپذیری (روش نیوتن) و بسیاری موارد دیگر توسعه می یابد. سایر مطالب به طور طبیعی ریشه در مسائل هندسی دارند، مانند حساب انتگرال (محاسبه مساحت) و توابع مثلثاتی (تعیین فاصله). بنابراین به خواننده دستورالعملی داده می شود که با آن حساب دیفرانسیل و انتگرال را می توان به وضوح ساختار داد. در انتخاب مطالب، اولویت به محتوایی داده شد که از یک سو، کاربرد گسترده ای داشته باشد و از سوی دیگر، منجر به آماده سازی برای شکل گیری اصطلاحات در تحلیل بالاتر، به ویژه تحلیل عملکردی، مانند به عنوان مثال، ب. قضیه نقطه ثابت باناخ، قضیه پاد پاد بورسوک، قضیه نقطه ثابت بروور، روش نیوتن برای چندین متغیر و خیلی چیزهای دیگر. روش‌های عددی مورد بحث در این کتاب را می‌توان به راحتی بر روی رایانه‌های کوچکی که امروزه به طور گسترده در مدارس استفاده می‌شود، انجام داد. در پایان لازم به ذکر است که معرفی همگرایی و تداوم مسیر جدیدی است.

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem Problem: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen gut, die in großer Vielzahl auf ihn ein­ stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die Analysis hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage­ stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe­ griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri­ schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau­ bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren Analysis hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor­ suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit ein neuer Weg beschritten wird.