Analyse MP : cours, méthodes et exercices corrigés

Table des Matières......Page 3
Cours......Page 15
Chapitre 1 Espaces vectoriels normés......Page 17
1.1.1 Norme, distance associée......Page 18
1.1.2 Boules, sphères......Page 25
1.1.3 Parties bornées d’un evn......Page 27
1.1.4 Voisinages......Page 28
1.1.5 Ouverts, fermés......Page 29
1.1.6 Comparaison de normes......Page 33
1.1.7 Intérieur, adhérence, frontière......Page 40
1.1.8 Distance d’un point à une partie non vide d’un evn......Page 43
1.1.9 Suites dans un evn......Page 45
1.2.1 Limites......Page 53
1.2.2 Continuité......Page 56
1.2.4 Applications lipschitziennes......Page 63
1.2.5 Applications linéaires continues......Page 66
1.3.1 Généralités......Page 72
1.3.2 Cas de la dimension finie......Page 76
1.4.1 Suites de Cauchy......Page 80
1.4.2 Parties complètes......Page 82
1.4.3 Supplément : théorème du point fixe......Page 85
1.5 Connexité par arcs......Page 86
1.6.1 Produit scalaire......Page 90
1.6.2 Inégalités, normes euclidiennes......Page 93
1.6.3 Orthogonalité......Page 97
1.6.4 Procédé d’orthogonalisation de Schmidt......Page 102
1.6.5 Projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel de dimension finie......Page 104
1.6.6 Norme d’un endomorphisme d’un espace euclidien......Page 109
Problèmes......Page 112
Chapitre 2 Fonctions vectorielles d’une variable réelle......Page 113
2.1.1 Structure de EX......Page 114
2.1.2 Parité......Page 115
2.1.3 Périodicité......Page 116
2.1.4 Applications bornées......Page 117
2.1.5 Limites......Page 119
2.1.6 Continuité par morceaux......Page 120
2.2.1 Dérivée en un point......Page 123
2.2.2 Propriétés algébriques des applications dérivables en un point......Page 124
2.2.3 Application dérivée......Page 126
2.2.4 Dérivées successives......Page 129
2.2.5 Classe d’une application......Page 130
2.2.6 Différentielle......Page 134
2.2.7 Dérivation des fonctions à valeurs matricielles......Page 135
2.3.1 Intégration des applications en escalier sur un segment......Page 136
2.3.2 Suites d’applications (première étude)......Page 138
2.3.3 Approximation uniforme par des applications en escalier ou par des applications affines par morceaux et continues......Page 141
2.3.4 Intégration des applications continues par morceaux sur un segment......Page 143
2.3.5 Sommes de Riemann......Page 149
2.3.6 Intégration et dérivation......Page 150
2.3.7 Inégalité des accroissements finis......Page 153
2.3.8 Changement de variable......Page 156
2.3.9 Intégration par parties......Page 157
2.3.10 Formule de Taylor avec reste intégral......Page 159
2.3.11 Théorème de relèvement......Page 160
2.4.1 Prépondérance, domination......Page 162
2.4.2 Équivalence......Page 164
2.4.3 Développements limités vectoriels......Page 165
Problèmes......Page 166
Chapitre 3 Intégration sur un intervalle quelconque......Page 167
3.1.1 Définition......Page 168
3.1.2 Propriétés algébriques......Page 170
3.1.3 Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert......Page 172
3.2.1 Généralités......Page 179
3.2.2 Propriétés......Page 181
3.2.3 Intégrabilité sur un intervalle semi-ouvert ou ouvert......Page 187
3.3.1 Cas des fonctions intégrables......Page 196
3.3.2 Cas des fonctions non intégrables......Page 197
3.4 Intégrales impropres......Page 198
3.5.1 Continuité......Page 203
3.5.2 Dérivation......Page 206
3.5.3 La fonction Γ d’Euler......Page 214
3.6.1 Intégrales doubles sur le produit cartésien de deux segments......Page 220
3.6.2 Intégrales doubles sur le produit cartésien de deux intervalles......Page 221
3.6.3 Intégrale sur une partie simple du plan......Page 226
Problème......Page 231
Chapitre 4 Séries......Page 233
4.1.1 Généralités......Page 234
4.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des séries convergentes......Page 237
4.2 Séries à termes dans R+......Page 239
4.2.2 Théorèmes de comparaison......Page 240
4.2.3 Séries de Riemann......Page 241
4.2.4 Série géométrique......Page 244
4.3.1 CNS de Cauchy......Page 256
4.3.2 Convergence absolue......Page 258
4.3.3 Séries usuelles dans une algèbre de Banach......Page 261
4.3.4 Espaces ℓ1(K) et ℓ2(K)......Page 262
4.3.5 Séries alternées......Page 264
4.3.6 Exemples d’utilisation d’un développement asymptotique......Page 266
4.3.7 Comparaison d’une série à un intégrale......Page 269
4.3.8 Étude de la somme d’une série convergente......Page 276
4.3.9 Sommation des relations de comparaison......Page 283
4.3.10 Séries doubles......Page 289
Problèmes......Page 297
Chapitre 5 Suites et séries d’applications......Page 301
5.1.1 Convergences......Page 302
5.1.2 Convergence uniforme et limite......Page 306
5.1.3 Convergence uniforme et continuité......Page 307
5.1.4 Convergence uniforme et intégration sur un segment......Page 310
5.1.5 Convergence uniforme et dérivation......Page 313
5.1.6 Convergence d’une suite d’applications et intégration sur un intervalle quelconque......Page 315
5.2.2 Approximation par des polynômes......Page 321
5.2.3 Approximation par des polynômes trigonométriques......Page 326
5.3.1 Convergences......Page 328
5.3.2 Convergence uniforme et limite......Page 339
5.3.3 Convergence uniforme et continuité......Page 340
5.3.4 Convergence uniforme et intégration sur un segment......Page 344
5.3.5 Convergence uniforme et dérivation......Page 348
5.3.6 Convergence d’une série d’applications et intégration sur un intervalle quelconque......Page 355
Problèmes......Page 359
Chapitre 6 Séries entières......Page 365
6.1.2 Rayon de convergence et somme d’une série entière......Page 366
6.1.3 Comparaisons de rayons......Page 369
6.1.4 Règle de d’Alembert......Page 370
6.2.1 Structure vectorielle......Page 381
6.2.2 Dérivation......Page 382
6.2.3 Produit de deux séries entières......Page 383
6.3 Convergence......Page 385
6.4 Régularité de la somme d’une série entière......Page 386
6.5.1 Généralités......Page 390
6.5.2 Opérations sur les fonctions développables en série entière......Page 392
6.5.3 DSE(0) usuels......Page 395
6.6.1 L’exponentielle complexe......Page 409
6.6.2 Fonctions circulaires directes......Page 412
6.6.3 Fonctions hyperboliques directes......Page 413
Problèmes......Page 416
Chapitre 7 Séries de Fourier......Page 417
7.1.1 Ensemble CMT......Page 418
7.1.2 Coefficients de Fourier d’un élément de CMT......Page 419
7.1.3 Série de Fourier d’un élément de CMT......Page 423
7.2.1 Espace préhilbertien DT......Page 426
7.2.2 Famille orthonormale (en)n∇Z......Page 428
7.2.3 Le théorème de Parseval......Page 429
7.3.1 Convergence normale......Page 433
7.3.2 Le théorème de Dirichlet......Page 434
7.4 Exemples......Page 437
Problèmes......Page 442
Chapitre 8 Équations différentielles......Page 445
8.1.1 Définitions......Page 446
8.1.3 Équations différentielles autonomes......Page 447
8.2.1 Théorie......Page 449
8.2.2 Exemples d’utilisation du théorème de Cauchy-Lipschitz......Page 454
8.3 Systèmes différentiels linéaires du premier ordre......Page 464
8.3.1 Généralités......Page 465
8.3.2 Existence et unicité d’une solution du problème de Cauchy sur tout l’intervalle I......Page 469
8.3.3 Structures de S0 et de S......Page 470
8.3.4 Résolution de (E0)......Page 471
8.3.5 Résolution de (E)......Page 472
8.3.6 Systèmes différentiels linéaires du premier ordre à coefficients constants......Page 476
8.3.7 Systèmes différentiels autonomes linéaires d’ordre 1, à deux inconnues, à coefficients constants et sans second membre......Page 487
8.4.1 Généralités......Page 492
8.4.2 Résolution de (E0)......Page 494
8.4.3 Résolution de (E)......Page 496
8.4.4 Problème des raccords......Page 499
8.4.5 Utilisation de séries entières......Page 501
Chapitre 9 Fonctions de plusieurs variables réelles......Page 507
9.1.1 Définitions......Page 510
9.1.2 Applications de classe C1 sur un ouvert......Page 512
9.1.3 Différentielle d’une application de classe C1......Page 513
9.1.4 Différentiabilité......Page 520
9.1.5 Inégalité des accroissements finis......Page 523
9.1.6 C1-difféomorphismes......Page 526
9.1.7 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles du premier ordre......Page 529
9.2.1 Définition......Page 535
9.2.2 Applications de classe Ck sur un ouvert......Page 536
9.2.3 Interversion des dérivations......Page 537
9.2.4 Ck-difféomorphismes......Page 541
9.2.5 Exemples de résolution d’équations aux dérivées partielles d’ordre ≥ 2......Page 542
9.3.1 Définitions......Page 547
9.3.3 Étude à l’ordre 2......Page 548
9.3.4 Extremums globaux......Page 554
9.4 Fonctions implicites......Page 557
9.5.2 Formes différentielles exactes......Page 560
9.5.3 Formes différentielles fermées......Page 561
Problème......Page 566
Chapitre 1......Page 568
Chapitre 2......Page 588
Chapitre 3......Page 598
Chapitre 4......Page 632
Chapitre 5......Page 662
Chapitre 6......Page 715
Chapitre 7......Page 737
Chapitre 8......Page 752
Chapitre 9......Page 771
Index des notations......Page 791
Index alphabétique......Page 793