Analyse mathematique

TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos.......................... 9

Chapitre premier. ÉLÉMENTS DE THÉORIE DES ENSEMBLES . . - - - 10
 1. Notion d'ensemble. Opérations ensemblistes élémentaires . . 10
 2. Applications d'ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
 3. Ensembles dénombrables . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Chapitre 2. NOMBRES RÉELLES ET COMPLEXES. ESPACES MÉTRIQUES . . 16
 1. Notion de nombre réel.................. 16
 2. Opérations arithmétiques sur les nombres réels . . . . . . 21
 3. Parties bornées de l'ensemble des nombres réels . . . . . 21
 4. Complétude de l‘ensemble des nombres réels . . . . . . . 24
 5. Nombres complexes................... 25
 6. Espaces métriques.................... 27

Chapitre 3- SUITES ET SÉRIES NUMÉRIQUES . . . . . . . . . . . . 32
 1. Suites convergentes................... 32
 2. Propriétés élémentaires des séries convergentes . . . . . . 34
 3. Suites infiniment petites. Suites convergeant vers  ±∞ . . . 38
 4. Suites. Théorème de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . 39
 5. Suites fondamentales. Critère de Cauchy . . . . . . . . . 42
 6.5éries numériques.................... 43

Chapitre 4- LIMITE D'UNE FONCTION. FONCTIONS CONTINUES ........... 63
 1. Fonctions d'une variable réelle . . . . . . . . . . . . . . 63
 2.Limite d'une fonction.................. 65
 3.Fonctions continues................... 71
 4. Propriétés des fonctions continues sur un intervalle fermé 75
 5.Fonctions monotones................... 79
 6. Fonctions élémentaires et leur continuité . . . . . . . . . 82
 7. Calcul de certaines limites . . . . . . . . . . . . . . . 87
 8. Comparaison des fonctions du point de vue du passage à la limite.... 90
 9. Suites et séries de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . 92

 
Chapitre 5. DÉRIVATION ET INTÉGRATION DE FONCTIONS D'UNE SEULE
VARIABLE...........................104
 1. Notion de dérivée...................104
 2. Signification mécanique et géométrique de la dérivée . . . 106
 3. Règles de dérivation.................. 107
 4. Dérivation des fonctions élémentaires . . . . . . . . . . 111
 5. Différentielle d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . 114
 6. Théorèmes de la moyenne pour les fonctions dérivantes . . . 116
 7. Primitive et intégrale indéfinie . . . . . . . . . . . . . 121
 8. 1ntégrale définie de Newton . . . . . . . . . . . . . . 125
 9. Théorèmes de la moyenne pour l'intégrale définie de Newton 129
10. Dérivées d‘ordre quelconque . . . . . . . . . . . . . . . 132
11. Différentielles d'ordre quelconque . . . . . . . . . . . . 134
12. Dérivation et intégration de suites et de séries de fonctions 137

Chapitre 6. FORMULE DE TAYLOR. SÉRIE DE TAYLOR. SÉRIES ENTIÈRES 142
 1. Formule de Taylor.................... 142
 2. Série de Taylor. Séries de Taylor pour certaines fonctions
élémentaires......................145
 3. Séries entières à termes réels . . . . . . . . . . . . . . 149
 4. Séries entières à termes complexes . . . . . . . . . . . . 154

Chapitre 7. APPLICATION DU CALCUL DIFFÉRENTIEL À LA DETERMINAI-
NATION DES LIMITES ET À L'ÉTUDE DES FONCTIONS ............. 161
 1. Règle de l'Hospital................... 161
 2. Calcul des limites (le fonctions avec la formule de Taylor . . 166
 3. Étude des fonctions...................167

Chapitre 8. INTÉGRALE DÉFlNlE DE RIEMANN . . . . . . . . . . 176
 1. Définition de l'intégrale de Riemann. Conditions nécessaires
et suffisantes d'intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . 176
 2. Propriétés élémentaires de l'intégrale de Riemann . . . . ._ 185
 3. Classes de fonctions intégrables—Riemann . . . . . . . . . 191
 4. Théorèmes de la moyenne pour l'intégrale de Riemann . . . 193
 5. Propriétés de l'intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . 195
 6. Notion de primitive généralisée . . . . . . . . . . . . . . 201
 7. 1ntégralesimpropres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
 8. Calcul approché des intégrales . . . . . . . . . . . . . . 215
 9. Calcul des longueurs, aires et volumes . . . . . . . . . . 219

Chapitre 9. TECHNIQUES D’INTÉGRATION . . . . . . . . . . . . . 223
 1. Recherche d'une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3
 2. Intégration des fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . 224
 3. Intégrales se ramenant à des intégrales de fonctions rationnelles 236
 4. Intégration des fonctions complexes d'une variable réelle . . . 239

Chapitre 10. FONCTIONS VECTORIELLES D'UNE VARIABLE RÉELLE.
COURBES DANS LE PLAN ET DANS L'ESPACE . . . . . . . . . . 243
 1. Fonctions vectorielles d‘une variable réelle . . . . . . . . 243
 2. Courbes dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

Chapitre 11. FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES . . . . . . . . 265
 1. Suites de points convergentes dans l'espace euclidien . . . . 265
 2. Limite d'une fonction de plusieurs variables . . . . . . . 267
 3. Fonctions continues de plusieurs variables . . . . . . . . 272
 4. Dérivation des fonctions de plusieurs variables . . . . . . 276
 5. Dérivées et différentielles d'ordre quelconque . . . . . . . 287
 6. Formule de Taylor pour fonctions de plusieurs variables . . . 291
 7. Extrémum local de fonctions de plusieurs variables . . . . 293

Chapitre 12. FONCTIONS VECTORIELLES DE PLUSIEURS VARIABLES.
INTÉGRALES CURVILIGNES . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
 1. Fonctions vectorielles de plusieurs variables . . . . . . . 300
 2. Intégrales curvilignes dans l'espace . . . . . . . . . . . . 304

Chapitre 13. FONCTIONS IMPLICITES. EXTREMUM LIE . . . . . . . 308
 1. Théorèmes fondamentaux sur les fonctions implicites . . . 308
 2. Applications dérivables et leurs jacobiens . . . . . . . . . 3l8
 3. Dépendance des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 321
 4. Résolution approchée des équations . . . . . . . . . . . . 325
 5. Extremum lié......................332

Chapitre 14. INTÉGRALES MULTIPLES ET LEURS APPLICATIONS . . . 336
 1. 1ntégrales doubles...................336
 2. Formule de Green. Conditions de potentialité d'un champ
de vecteurs sur le plan..................... 348
 3. Formule de changement des variables dans une intégrale
double........................355
 4. Intégrales dépendant d'un paramètre . . . . . . . . . . . 358
 5. Intégrales doubles impropres . . . . . . . . . . . . . . 368
 6. 5urface dans l'espace.................. 372
 7. 1ntégralesdesurface..................384
 8. Formule de Stokes. Conditions de potentialité d'un champ
de vecteurs dans l'espace................ 388
 9. Intégrales triples....................393
10. Formule d'Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

Chapitre 15. SÉRIES DE FOURIER. INTÉGRALE DE FOURIER . . . . . 404
 1. Séries trigonométriques de Fourier . . . . . . . . . . . . 404
 2. Séries de Fourier suivant un système orthogonal de fonctions 414
 3. Convergence en moyenne................. 418
 4. Conditions suffisantes de convergence uniforme d'une série
trigonométrique de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 422
 5. Séries trigonométriques sous forme complexe ............423
 6. 1ntégrale de Fourier...................425

Chapitre 16. INTÉGRALE DE LEBESGUE ......................... 430
 1. Ensembles de mesure nulle........................... 430
 2. Suites de fonctions en escalier ......................... 432
 3. Notion d‘intégrale de Lebesgue .......................... 435
 4. Fonctions mesurables et ensembles mesurables............. 440
 5. L‘espace L:([a,b])................... 442

Chapitre 17. ÉLÉMENTS D'ANALYSE TENSORIELLE ...............445
 1. Tenseurs sur une surface................. 445
 2. Tenseurs sur une variété différentiable ................ 453
 3. Espaces riemanniens. Dérivation covariante ............. 457

Index alphabétique des matières ............................469