An Invitation to C*-Algebras

این کتاب مقدمه ای بر جبرهای C* و نمایش آنها در فضاهای هیلبرت می دهد. ما سعی کرده‌ایم تا آنجا که می‌توانیم، تنها آنچه را که معتقدیم اساسی‌ترین ایده‌ها هستند، ارائه کنیم. بنابراین هر زمان که راحت باشد (و معمولاً اینطور است)، فضاهای هیلبرت قابل تفکیک می شوند و جبرهای C* تبدیل به GCR می شوند. این عمل احتمالاً این تصور را ایجاد می کند که هیچ چیز ارزشمندی در مورد سایر جبرهای C* شناخته نشده است. البته این درست نیست. اما تا آنجا که به بازنمایی‌ها مربوط می‌شود، می‌توانیم به این واقعیت تجربی اشاره کنیم که تا به امروز هیچ‌کس توصیف پارامتریک مشخصی حتی از نمایش‌های تقلیل‌ناپذیر هر جبر C* که GCR نیست، ارائه نکرده است. در واقع، شواهد فرا ریاضیاتی وجود دارد که قویاً نشان می دهد که هیچ کس هرگز چنین نخواهد کرد (به بحث در پایان بخش 3. 4 مراجعه کنید). گاهی اوقات، زمانی که ایده پشت اثبات یک قضیه کلی به وضوح در یک مورد خاص آشکار می شود، ما فقط حالت خاص را اثبات می کنیم و تعمیم ها را به تمرین ها واگذار می کنیم. در واقع، ما به طور سیستماتیک از سنت بوربکی اجتناب کرده ایم. ما همچنین سعی کرده ایم علایق خوانندگان مختلف را در نظر بگیریم. برای مثال، تئوری کثرت برای عملگرهای معمولی در بخش‌های 2. 1 و 2. 2 آمده است (مطلوب است اما لازم نیست بخش 1. 1 را نیز شامل شود)، در حالی که کسی که علاقه‌مند به ساختارهای بورل است می‌تواند فصل 3 را جداگانه مطالعه کند. . فصل اول را می‌توان به عنوان مقدمه‌ای برای جبرهای C* استفاده کرد. بخش 2.

This book gives an introduction to C*-algebras and their representations on Hilbert spaces. We have tried to present only what we believe are the most basic ideas, as simply and concretely as we could. So whenever it is convenient (and it usually is), Hilbert spaces become separable and C*-algebras become GCR. This practice probably creates an impression that nothing of value is known about other C*-algebras. Of course that is not true. But insofar as representations are con­ cerned, we can point to the empirical fact that to this day no one has given a concrete parametric description of even the irreducible representations of any C*-algebra which is not GCR. Indeed, there is metamathematical evidence which strongly suggests that no one ever will (see the discussion at the end of Section 3. 4). Occasionally, when the idea behind the proof of a general theorem is exposed very clearly in a special case, we prove only the special case and relegate generalizations to the exercises. In effect, we have systematically eschewed the Bourbaki tradition. We have also tried to take into account the interests of a variety of readers. For example, the multiplicity theory for normal operators is contained in Sections 2. 1 and 2. 2. (it would be desirable but not necessary to include Section 1. 1 as well), whereas someone interested in Borel structures could read Chapter 3 separately. Chapter I could be used as a bare-bones introduction to C*-algebras. Sections 2.