An Introduction to Two-Dimensional Quantum Field Theory with (0,2) Supersymmetry

این کتاب تئوری های میدان فوق متقارن دو بعدی را با تاکید بر مدل های سیگما خطی و غیرخطی معرفی می کند. هندسه دیفرانسیل پیچیده، در ارتباط با ابر تقارن، نقشی کلیدی در بیشتر تحولات سی سال اخیر در نظریه میدان کوانتومی و نظریه ریسمان ایفا کرده است. هر دو ساختار استحکام زیادی را در مقایسه با دسته‌بندی‌های کلی‌تر نظریه‌های غیر ابر متقارن و هندسه دیفرانسیل واقعی ارائه می‌کنند که امکان بسیاری از نتایج مفهومی کلی و پیش‌بینی‌های کمی دقیق را فراهم می‌کند. تئوری های میدان کوانتومی فوق متقارن دو بعدی (0،2) عرصه ای طبیعی برای تعامل پربار بین هندسه و نظریه میدان کوانتومی فراهم می کنند. این نظریه‌ها نقش مهمی در نظریه ریسمان ایفا می‌کنند و تعمیم‌هایی را در مورد ساختارهای غنی مانند تقارن آینه‌ای ارائه می‌دهند که هنوز به طور کامل باید مورد بررسی قرار گیرد. آنها همچنین کاربردهایی در فیزیک چهار بعدی غیر اغتشاش دارند، به عنوان مثال به عنوان توصیف عیوب سطح یا دینامیک انرژی کم رشته های سنگی در تئوری های فوق متقارن چهار بعدی.

هدف از این یادداشت های سخنرانی، آشنایی با خواننده با این نظریه‌های جذاب، با فرض پیش‌زمینه‌ای در نظریه هم‌نظم، نظریه میدان کوانتومی و هندسه دیفرانسیل در مقطع کارشناسی ارشد. به منظور بررسی روابط عمیق بین ساختارها از هندسه پیچیده و نظریه میدان، متن با بررسی کامل ساختارهای پایه (0،2) نظریه میدان کوانتومی و نظریه میدان همسان آغاز می‌شود. سپس، یک کلاس ساده از نظریه‌های لاگرانژی، مدل‌های (0،2) لاندو-گینزبورگ، همراه با جریان‌های گروه نرمال‌سازی مجدد، دینامیک و تقارن مورد بحث قرار می‌گیرند. پس از معرفی و بررسی کامل (0،2) مدل‌های سیگمای غیرخطی، متن مدل‌های سیگمای خطی را معرفی می‌کند که به‌ویژه، یک درمان یکپارچه از مدل‌های سیگما غیرخطی و نظریه‌های لاندو-گینزبورگ ارائه می‌دهد. بسیاری از تمرین ها، همراه با بحث در مورد مفاهیم ریاضی مرتبط و مسائل باز مهم در این زمینه، در متن گنجانده شده است.

This book introduces two-dimensional supersymmetric field theories with emphasis on both linear and non-linear sigma models. Complex differential geometry, in connection with supersymmetry, has played a key role in most developments of the last thirty years in quantum field theory and string theory. Both structures introduce a great deal of rigidity compared to the more general categories of non-supersymmetric theories and real differential geometry, allowing for many general conceptual results and detailed quantitative predictions. Two-dimensional (0,2) supersymmetric quantum field theories provide a natural arena for the fruitful interplay between geometry and quantum field theory. These theories play an important role in string theory and provide generalizations, still to be explored fully, of rich structures such as mirror symmetry. They also have applications to non-perturbative four-dimensional physics, for instance as descriptions of surface defects or low energy dynamics of solitonic strings in four-dimensional supersymmetric theories.

The purpose of these lecture notes is to acquaint the reader with these fascinating theories, assuming a background in conformal theory, quantum field theory and differential geometry at the beginning graduate level. In order to investigate the profound relations between structures from complex geometry and field theory the text begins with a thorough examination of the basic structures of (0,2) quantum field theory and conformal field theory. Next, a simple class of Lagrangian theories, the (0,2) Landau-Ginzburg models, are discussed, together with the resulting renormalization group flows, dynamics, and symmetries. After a thorough introduction and examination of (0,2) non-linear sigma models, the text introduces linear sigma models that, in particular, provide a unified treatment of non-linear sigma models and Landau-Ginzburg theories. Many exercises, along with discussions of relevant mathematical notions and important open problems in the field, are included in the text.