An Introduction to Probability and Stochastic Processes

این یادداشت‌ها در نتیجه تدریس من یک دوره \"نظریه غیر اندازه‌گیری\" در احتمالات و فرآیندهای تصادفی چند بار در موسسه وایزمن در اسرائیل نوشته شده‌اند. من سعی کرده ام دو اصل را رعایت کنم. اولین مورد این است که هر زمان که ممکن است چیزها را به صورت \"احتمالی\" و بدون توسل به شاخه های دیگر ریاضیات و با نمادی که تا حد امکان \"احتمالی\" باشد اثبات کنید. بنابراین، برای مثال، مجانبی pn برای n بزرگ، که در آن P یک ماتریس تصادفی است، در بخش V با استفاده از احتمالات عبور و زمان‌های برخورد به جای مثلاً کشیدن نظریه پرون فروبنیوس یا تجزیه و تحلیل طیفی، ایجاد می‌شود. به طور مشابه در بخش دوم، توزیع نرمال مشترک از طریق انتظار شرطی به جای اشکال درجه دوم مطالعه می شود. اصل دومی که سعی کردم از آن پیروی کنم این است که نتایج را فقط در اشکال ساده آنها اثبات کنم و سعی کنم هر گونه محاسبات فنی جزئی را از براهین حذف کنم تا مهمترین مراحل را آشکار کنم. مراحل اثبات یا مشتقاتی که شامل جبر یا حساب پایه است نشان داده نمی شوند. فقط مراحلی که مثلاً شامل استفاده از استقلال یا یک استدلال همگرایی غالب یا یک فرض در یک قضیه است نمایش داده می شود. برای مثال، در اثبات فرمول‌های وارونگی برای توابع مشخصه، مراحلی را که شامل ارزیابی انتگرال‌های مثلثاتی پایه می‌شوند حذف می‌کنم و جزئیات را فقط در مواردی که از قضیه فوبینی یا قضیه همگرایی غالب استفاده می‌شود، نمایش می‌دهم.

These notes were written as a result of my having taught a "nonmeasure theoretic" course in probability and stochastic processes a few times at the Weizmann Institute in Israel. I have tried to follow two principles. The first is to prove things "probabilistically" whenever possible without recourse to other branches of mathematics and in a notation that is as "probabilistic" as possible. Thus, for example, the asymptotics of pn for large n, where P is a stochastic matrix, is developed in Section V by using passage probabilities and hitting times rather than, say, pulling in Perron­ Frobenius theory or spectral analysis. Similarly in Section II the joint normal distribution is studied through conditional expectation rather than quadratic forms. The second principle I have tried to follow is to only prove results in their simple forms and to try to eliminate any minor technical com­ putations from proofs, so as to expose the most important steps. Steps in proofs or derivations that involve algebra or basic calculus are not shown; only steps involving, say, the use of independence or a dominated convergence argument or an assumptjon in a theorem are displayed. For example, in proving inversion formulas for characteristic functions I omit steps involving evaluation of basic trigonometric integrals and display details only where use is made of Fubini's Theorem or the Dominated Convergence Theorem.