An introduction to numerical analysis

Cover
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Title
......Page 2
Copyright
......Page 3
Contents......Page 4
Preface......Page 8
1.1 Introduction......Page 12
1.2 Simple iteration......Page 13
1.3 Iterative solution of equations......Page 28
1.4 Relaxation and Newton’s method......Page 30
1.5 The secant method......Page 36
1.6 The bisection method......Page 39
1.7 Global behaviour......Page 40
1.8 Notes......Page 43
Exercises......Page 46
2.1 Introduction......Page 50
2.2 Gaussian elimination......Page 55
2.3 LU factorisation......Page 59
2.4 Pivoting......Page 63
2.5 Solution of systems of equations......Page 66
2.6 Computational work......Page 67
2.7 Norms and condition numbers......Page 69
2.8 Hilbert matrix......Page 83
2.9 Least squares method......Page 85
2.10 Notes......Page 90
Exercises......Page 93
3.2 Symmetric positive definite matrices......Page 98
3.3 Tridiagonal and band matrices......Page 104
3.4 Monotone matrices......Page 109
3.5 Notes......Page 112
Exercises......Page 113
4.1 Introduction......Page 115
4.2 Simultaneous iteration......Page 117
4.3 Relaxation and Newton’s method......Page 127
4.4 Global convergence......Page 134
4.5 Notes......Page 135
Exercises......Page 137
5.1 Introduction......Page 144
5.3 Jacobi’s method......Page 148
5.4 The Gerschgorin theorems......Page 156
5.5 Householder’s method......Page 161
5.6 Eigenvalues of a tridiagonal matrix......Page 167
5.7.1 The QRfactorisation revisited......Page 173
5.7.2 The definition of the QRalgorithm......Page 175
5.8 Inverse iteration for the eigenvectors......Page 177
5.9 The Rayleigh quotient......Page 181
5.10 Perturbation analysis......Page 183
5.11 Notes......Page 185
Exercises......Page 186
6.1 Introduction......Page 190
6.2 Lagrange interpolation......Page 191
6.3 Convergence......Page 196
6.4 Hermite interpolation......Page 198
6.5 Differentiation......Page 202
6.6 Notes......Page 205
Exercises......Page 206
7.1 Introduction......Page 211
7.2 Newton-Cotes formulae......Page 212
7.3 Error estimates......Page 215
7.4 The Runge phenomenon revisited......Page 219
7.5 Composite formulae......Page 220
7.6 The Euler-Maclaurin expansion......Page 222
7.7 Extrapolation methods......Page 226
7.8 Notes......Page 230
Exercises......Page 231
9 Approximation in the......Page 0
8.2 Normed linear spaces......Page 235
8.4 Chebyshev polynomials......Page 252
8.5 Interpolation......Page 255
8.6 Notes......Page 258
Exercises......Page 259
9.1 Introduction......Page 263
9.2 Inner product spaces......Page 264
9.4 Orthogonal polynomials......Page 270
9.5 Comparisons......Page 281
9.6 Notes......Page 283
Exercises......Page 284
10.2 Construction of Gauss quadrature rules......Page 288
10.3 Direct construction......Page 291
10.4 Error estimation for Gauss quadrature......Page 293
10.5 Composite Gauss formulae......Page 296
10.6 Radau and Lobatto quadrature......Page 298
Exercises......Page 299
11.1 Introduction......Page 303
11.2 Linear interpolating splines......Page 304
11.3 Basis functions for the linear spline......Page 308
11.4 Cubic splines......Page 309
11.5 Hermite cubic splines......Page 311
11.6 Basis functions for cubic splines......Page 313
11.7 Notes......Page 317
Exercises......Page 318
12.1 Introduction......Page 321
12.2 One-step methods......Page 328
12.3 Consistency and convergence......Page 332
12.4 An implicit one-step method......Page 335
12.5 Runge-Kutta methods......Page 336
12.6 Linear multistep methods......Page 340
12.7 Zero-stability......Page 342
12.8 Consistency......Page 348
12.9 Dahlquist’s theorems......Page 351
12.10 Systems of equations......Page 352
12.11 Stiff systems......Page 354
12.12 Implicit Runge-Kutta methods......Page 360
12.13 Notes......Page 364
Exercises......Page 366
13.2 A model problem......Page 372
13.3 Error analysis......Page 375
13.4 Boundary conditions involving a derivative......Page 378
13.5 The general self-adjoint problem......Page 381
13.6 The Sturm-Liouville eigenvalue problem......Page 384
13.7 The shooting method......Page 386
13.8 Notes......Page 391
Exercises......Page 392
14.1 Introduction: the model problem......Page 396
14.2 Rayleigh-Ritz and Galerkin principles......Page 399
14.3 Formulation of the finite element method......Page 402
14.4 Error analysis of the finite element method......Page 408
14.5 A posteriori error analysis by duality......Page 414
14.6 Notes......Page 423
Exercises......Page 425
Appendix A An overview of results from real analysis......Page 430
Appendix B WWW-resources......Page 434
Bibliography......Page 435
Index......Page 440