An Introduction to Dirac Operators on Manifolds

عملگرهای دیراک نقش مهمی در چندین حوزه از ریاضیات و فیزیک بازی می‌کنند، به عنوان مثال: نظریه شاخص، عملگرهای شبه دیفرانسیل بیضوی، الکترومغناطیس، فیزیک ذرات، و نظریه نمایش گروه‌های دروغ. در این کار اساساً مستقل، ایده‌های اساسی زیربنای مفهوم عملگرهای دیراک بررسی می‌شوند. با شروع جبرهای کلیفورد و مبانی هندسه دیفرانسیل، متن بر دو ویژگی اصلی تمرکز دارد، یعنی تغییر ناپذیری منسجم، که رفتار محلی اپراتور را تعیین می کند، و ویژگی ادامه منحصر به فرد حاکم بر رفتار جهانی آن. گروه های اسپین و بسته های اسپینور و همچنین روابط با همتایان کلاسیک خود، گروه های متعامد و بسته های کلیفورد پوشش داده شده اند. فصول جبر کلیفورد و مبانی هندسه دیفرانسیل می تواند به عنوان مقدمه ای برای مباحث فوق استفاده شود و برای دانشجویان ارشد و کارشناسی ارشد مناسب است. سایر فصول نیز در این سطح قابل دسترسی هستند، به طوری که این متن به دانش قبلی بسیار کمی از حوزه های تحت پوشش نیاز دارد. با این حال، خواننده از دانش تحلیل پیچیده، که ساده‌ترین مثال از عملگر دیراک را ارائه می‌کند، بهره خواهد برد. خوانندگان پیشرفته تر --- فیزیکدانان ریاضی، فیزیکدانان و ریاضیدانان از مناطق مختلف --- از رویکرد جدید به نظریه و همچنین نتایج جدید در نظریه ارزش مرزی قدردانی خواهند کرد.

Dirac operators play an important role in several domains of mathematics and physics, for example: index theory, elliptic pseudodifferential operators, electromagnetism, particle physics, and the representation theory of Lie groups. In this essentially self-contained work, the basic ideas underlying the concept of Dirac operators are explored. Starting with Clifford algebras and the fundamentals of differential geometry, the text focuses on two main properties, namely, conformal invariance, which determines the local behavior of the operator, and the unique continuation property dominating its global behavior. Spin groups and spinor bundles are covered, as well as the relations with their classical counterparts, orthogonal groups and Clifford bundles. The chapters on Clifford algebras and the fundamentals of differential geometry can be used as an introduction to the above topics, and are suitable for senior undergraduate and graduate students. The other chapters are also accessible at this level so that this text requires very little previous knowledge of the domains covered. The reader will benefit, however, from some knowledge of complex analysis, which gives the simplest example of a Dirac operator. More advanced readers---mathematical physicists, physicists and mathematicians from diverse areas---will appreciate the fresh approach to the theory as well as the new results on boundary value theory.