An Introduction to Basic Fourier Series

با انتشار کتاب نوربرت وینر "فوریه در تگرال و برخی از کاربردهای آن" [165] در سال 1933 توسط انتشارات دانشگاه کمبریج بود که جامعه ریاضی متوجه شد که یک رویکرد جایگزین برای مطالعه تحلیل فوریه c1assical، یعنی از طریق تئوری چندجمله‌ای متعامد c1. او در آن زمان نمی‌دانست که این ایده کوچک او به راه‌اندازی شاخه‌ای جدید و در حال خروج از تحلیل c1assical به نام تحلیل فوریه q کمک می‌کند. تلاش برای یافتن q-آنالوگ های فوریه و سایر تبدیل های مرتبط توسط نویسندگان دیگر ساخته شده اند، اما برای دیدن ارتباط طبیعی بین چند جمله ای های متعامد، نیاز به بینش ریاضی و غرایز دیگری جز ریچارد آسکی، استاد بزرگ توابع ویژه و چندجمله ای های متعامد نیست. نظریه سیستماتیک تحلیل فوریه کیو. مقاله ای که او در سال 1993 با N. M. Atakishiyev و S. K Suslov نوشت، با عنوان "آنالوگ تبدیل فوریه برای یک نوسانگر q-Harmonic" [13]، احتمالاً اولین مقاله مهم بود. انتشار در این زمینه پواسون k~rnel برای چندجمله‌ای‌های q-Hermite پیوسته، نقش تابع q-نمایی را برای آنالوگ انتگرال فوریه ایفا می‌کند. همچنین [14] را برای بسط تبدیل q-فوریه به حالت کلی نگاه کنید. چند جمله ای های Askey-Wilson. (یکی دیگر از اجزای مهم تجزیه و تحلیل q-فوریه، که مستحق بررسی کامل است، نظریه سری q-Fourier است.

It was with the publication of Norbert Wiener's book ''The Fourier In­ tegral and Certain of Its Applications" [165] in 1933 by Cambridge Univer­ sity Press that the mathematical community came to realize that there is an alternative approach to the study of c1assical Fourier Analysis, namely, through the theory of c1assical orthogonal polynomials. Little would he know at that time that this little idea of his would help usher in a new and exiting branch of c1assical analysis called q-Fourier Analysis. Attempts at finding q-analogs of Fourier and other related transforms were made by other authors, but it took the mathematical insight and instincts of none other then Richard Askey, the grand master of Special Functions and Orthogonal Polynomials, to see the natural connection between orthogonal polynomials and a systematic theory of q-Fourier Analysis. The paper that he wrote in 1993 with N. M. Atakishiyev and S. K Suslov, entitled "An Analog of the Fourier Transform for a q-Harmonic Oscillator" [13], was probably the first significant publication in this area. The Poisson k~rnel for the contin­ uous q-Hermite polynomials plays a role of the q-exponential function for the analog of the Fourier integral under considerationj see also [14] for an extension of the q-Fourier transform to the general case of Askey-Wilson polynomials. (Another important ingredient of the q-Fourier Analysis, that deserves thorough investigation, is the theory of q-Fourier series.