An Approach to the Selberg Trace Formula via the Selberg Zeta-Function

یادداشت‌ها رویکرد مستقیمی به تابع زتا سلبرگ برای زیرگروه‌های مجزای متشکل از SL (2،#3) می‌دهند که در نیمه صفحه بالایی عمل می‌کنند. ایده اصلی این است که ردی از هسته حل تکراری لاپلاسین هذلولی را محاسبه کنیم تا به مشتق لگاریتمی تابع زتا سلبرگ برسیم. دانش قبلی از فرمول ردیابی سلبرگ فرض نمی شود. این تئوری برای وزن‌های واقعی دلخواه و برای سیستم‌های ضرب‌کننده دلخواه ایجاد شده است که اجازه می‌دهد رویکردی به نتایج شناخته‌شده در فرم‌های کلاسیک خودکار بدون قضیه ریمان-روخ داشته باشد. بحث نویسنده در مورد فرمول ردیابی سلبرگ بر قیاس با تابع زتا ریمان تأکید دارد. برای مثال، قضیه فاکتورسازی متعارف شامل یک آنالوگ از ثابت اویلر است. در نهایت فرمول کلی ردیابی سلبرگ به راحتی از ویژگی‌های تابع زتا سلبرگ استنتاج می‌شود: این شبیه به روش در نظریه اعداد تحلیلی است که در آن فرمول‌های صریح از ویژگی‌های تابع زتا ریمان استنتاج می‌شوند. جدای از نظریه طیفی پایه لاپلاسی برای گروه های همبسته، این کتاب مستقل است و به عنوان یک رویکرد سریع به تابع زتا سلبرگ و فرمول ردیابی سلبرگ مفید خواهد بود.

The Notes give a direct approach to the Selberg zeta-function for cofinite discrete subgroups of SL (2,#3) acting on the upper half-plane. The basic idea is to compute the trace of the iterated resolvent kernel of the hyperbolic Laplacian in order to arrive at the logarithmic derivative of the Selberg zeta-function. Previous knowledge of the Selberg trace formula is not assumed. The theory is developed for arbitrary real weights and for arbitrary multiplier systems permitting an approach to known results on classical automorphic forms without the Riemann-Roch theorem. The author's discussion of the Selberg trace formula stresses the analogy with the Riemann zeta-function. For example, the canonical factorization theorem involves an analogue of the Euler constant. Finally the general Selberg trace formula is deduced easily from the properties of the Selberg zeta-function: this is similar to the procedure in analytic number theory where the explicit formulae are deduced from the properties of the Riemann zeta-function. Apart from the basic spectral theory of the Laplacian for cofinite groups the book is self-contained and will be useful as a quick approach to the Selberg zeta-function and the Selberg trace formula.