Algèbre linéaire : cours et exercices, Capes et agrégation

Sommaire......Page 5
Préface......Page 7
Mode d\'emploi......Page 9
Table analytique des matières......Page 12
1. Espaces vectoriels......Page 19
2. Combinaisons linéaires......Page 25
3. Sous-espaces vectoriels......Page 27
4. Sous-espaces affines......Page 35
Annexe. Propriétés de l\'opérateur somme......Page 39
Exercices......Page 41
1. Proportionnalité et colinéarité......Page 47
2. Dépendance et indépendance linéaire......Page 48
3. Base d\'un espace vectoriel......Page 52
Annexe, la règle du déterminant 2-2......Page 55
Exercices......Page 57
1. Description......Page 61
2. Propriétés......Page 62
Exercices......Page 66
1. Définition et propriétés immédiates......Page 69
2. Composition des applications linéaires......Page 73
3. Image et noyau......Page 74
4. Isomorphismes......Page 78
Exercices......Page 81
1. Isomorphisme attaché à une base......Page 88
2. Espaces vectoriels de dimension finie......Page 90
3. Rang d\'une famille de vecteurs......Page 96
4. Matrices triangulaires de Mn(K) et drapeaux......Page 99
Annexe. Rang d\'une matrice......Page 102
Exercices......Page 108
1. Définitions et vocabulaire......Page 115
2. Produit matriciel......Page 118
3. Matrices carrées. Calculs dans Mn(K)......Page 123
4. Matrices inversibles......Page 126
5. Système linéaire......Page 130
Annexe 1. Produit par blocs......Page 134
Annexe 2 (*). Matrices blocs triangulaires inversibles......Page 136
Exercices......Page 138
1. La structure de K-algèbre......Page 149
2. Exemples......Page 151
3. Calculs dans une K-algèbre......Page 152
4. (*) Polynôme minimal......Page 155
5. Éléments inversibles......Page 157
6. Retour sur l\'algèbre Mn(K)......Page 158
7. L\'algèbre des endomorphismes d\'un espace vectoriel......Page 161
Annexe 1. Algèbre des polynômes à une indéterminée......Page 163
Annexe 2. Exponentiation rapide......Page 174
Annexe 3. Algorithme de Horner......Page 175
Exercices......Page 176
1. Matrices élémentaires......Page 184
2. Invariants matriciels......Page 187
3. Le principe du pivot de Gauss......Page 191
4. Conséquences et applications......Page 198
5. (*) Décomposition de Gauss-Jordan......Page 203
6. Une interprétation des opérations élémentaires......Page 208
Annexe 1. Algorithmes......Page 211
Annexe 2. Matrices de permutations......Page 213
Exercices......Page 216
1. Rang d\'un système linéaire......Page 229
2. Résolution d\'une équation linéaire......Page 233
3. Résolution d\'un système linéaire par l\'algorithme du pivot......Page 235
Annexe 1. Exemples traditionnels de système linéaires......Page 241
Annexe 2. Équation d\'un hyperplan......Page 247
Annexe 3. Illustrations géométriques......Page 253
Exercices......Page 260
1. Matrice d\'une application linéaire......Page 269
2. Premiers exemples......Page 272
3. Image et Noyau......Page 273
4. Composition et produit matriciel......Page 276
5. L\'isomorphisme entre End E et Mn(K) où n=dim E......Page 277
6. Le cas des formes linéaires......Page 278
7. Image d\'un sous-espace vectoriel......Page 279
8. Application linéaire et inversibilité d\'une matrice......Page 281
Annexe 1. Détermination pratique du rang, de l\'image et du noyau d\'une application linéaire en dimension finie......Page 286
Annexe 2. Matrices triangulaires......Page 289
Exercices......Page 291
1. Matrice de passage......Page 300
2. Applications linéaires et changement de base......Page 303
3. Le problème de la réduction des endomorphismes......Page 306
Exercices......Page 308
1. Matrices inversibles. Interprétations......Page 315
2. Une vision d\'ensemble......Page 316
Exercices......Page 320
1. Somme de deux sous-espaces vectoriels......Page 323
2. La situation en dimension finie......Page 324
3. Projecteurs et symétries......Page 327
4. Du côté des applications linéaires......Page 331
Annexe 1. Somme directe d\'un hyperplan et d\'une droite......Page 333
Annexe 2. Caractérisations des projecteurs......Page 335
Annexe 3. Somme de plusieurs sous-espaces vectoriels......Page 336
Exercices......Page 341
2. Rang d\'une matrice......Page 346
3. Rang d\'une application linéaire......Page 347
Exercices......Page 353
1. Formes linéaires et hyperplans......Page 359
2. Bases duales......Page 361
3. Équations linéaires définissant un sous-espace vectoriel......Page 362
Exercices......Page 367
1. Applications bilinéaires......Page 373
2. Formes bilinéaires......Page 375
3. Application multilinéaires......Page 377
1. Formes bilinéaires alternées d\'un espace vectoriel de dimension 2......Page 382
2. Formes 3-linéaires alternées d\'un espace vectoriel de dimension 3......Page 384
3. (*) Formes n-linéaires alternées sur un espace vectoriel de dimension n......Page 388
4. Relation de Chasles......Page 391
5. Déterminant d\'un endomorphisme......Page 392
6. Calcul des déterminants......Page 394
7. De l\'utilisation des déterminants......Page 398
8. Orientation d\'un espace vectoriel réel......Page 402
Annexe. Géométrie élémentaire, systèmes linéaires et déterminants......Page 404
Exercices......Page 406
1. Spectre d\'un endomorphisme......Page 420
2. Polynôme caractéristique......Page 421
3. Diagonalisation en dimension finie......Page 425
4. Trigonalisation en dimension finie......Page 429
Annexe 1 (*) Les projections sur les sous-espaces propres d\'un endomorphisme diagonalisable......Page 432
Annexe 2. Sous-espaces vectoriels stables......Page 434
Exercices......Page 435
1. Polynôme minimal d\'un endomorphisme......Page 445
2. L\'arithmétique des noyaux......Page 449
3. Application à la théorie de la réduction en dimension finie......Page 452
4. Sous-espaces vectoriels stables......Page 454
5. (*) Sous-espaces cycliques......Page 455
6. (*) Facteurs invariants......Page 465
Exercices......Page 470
1. Endomorphismes nilpotents......Page 485
2. (*) Sous-espaces caractéristiques......Page 492
3. (*) Le cas des endomorphismes trigonalisables......Page 494
Exercices......Page 500
1. Produit scalaire......Page 507
2. Premiers exemples......Page 510
3. Orthogonalité......Page 511
4. Bases orthonormées (ou orthonormales)......Page 513
5. Orthogonal d\'un sous-espace vectoriel......Page 516
6. Orientation d\'un espace vectoriel euclidien......Page 517
7. Dualité dans un espace euclidien......Page 519
8. (*) Adjoint d\'un endomorphisme......Page 520
Annexe. Algorithme de Gram-Schmidt......Page 523
Exercices......Page 525
1. Données générales......Page 532
2. Calculs dans une base orthonormée......Page 534
3. Caractérisations......Page 537
4. Projection et symétrie orthogonales sur un sous-espace affine......Page 540
Annexe. Illustrations géométriques......Page 544
Exercices......Page 546
1. Le groupe orthogonal d\'un espace vectoriel euclidien......Page 554
2. Classification des transformations orthogonales en dimension 2 et 3......Page 559
Exercices......Page 566
1. Matrices orthogonales de O2(R)......Page 570
2. Dimension 2 : le concept d\'angle orienté......Page 573
Annexe. Un formulaire classique......Page 577
Exercices......Page 578
1. Produit vectoriel......Page 580
2. Propriétés immédiates......Page 581
3. L\'endomorphisme omega^......Page 584
4. Description des rotations d\'un espace euclidien orienté de dimension 3......Page 585
Exercices......Page 589
1. Formes bilinéaires symétriques ou alternées......Page 597
2. Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques......Page 599
3. Formes bilinéaires symétriques et orthogonalité......Page 601
4. Formes bilinéaires dans le cadre euclidien......Page 608
Annexe 1. Une caractérisation des formes bilinéaires symétriques ou alternées......Page 613
Annexe 2. Algorithme d\'orthogonalisation......Page 614
Exercices......Page 617
Études......Page 626
1. Familles libres......Page 627
2. Bases de Kn[x]......Page 629
3. Suites récurrentes linéaires......Page 638
4. Équations différentielles linéaires......Page 646
5. Une matrice devenue incontournable......Page 655
6. Matrices magiques......Page 662
7. Homothéties vectorielles......Page 668
8. Réduction en dimension 2......Page 671
9. Réduction en dimension 3......Page 674
10. Exemples de calcul de puissances d\'une matrice carrée......Page 680
11. Endomorphismes de rang 1......Page 683
12. Théorème de Cayley-Hamilton-Frobenius......Page 685
13. Endomorphismes semi-simples......Page 690
14. Commutant d\'un endomorphisme......Page 697
15. Facteurs invariants d\'une matrice......Page 700
16. Factorisation LU d\'une matrice......Page 712
17. Méthode de Householder et factorisation QR......Page 721
18. Endomorphismes symétriques d\'un espace vectoriel euclidien......Page 726
19. Endomorphismes antisymétriques d\'un espace vectoriel euclidien......Page 731
20. Champ des vitesses d\'un solide en mouvement autour d\'un point......Page 737
21. Réduction d\'un automorphisme orthogonal......Page 739
22. Endomorphismes normaux d\'un espace vectoriel euclidien......Page 746
23. Matrices symétriques définies positives. Algorithme de Choleski......Page 752
24. Quaternions de Hamilton......Page 756
Postface......Page 761
Bibliographie......Page 765
Index......Page 766