Algèbre linéaire et algèbre tensorielle

AVANT-PROPOS......Page 6
TABLE DES MATIÈRES......Page 8
NOTATIONS......Page 12
NOTIONS SUPPOSEES CONNUES......Page 20
§ 1.  Espaces vectoriels......Page 24
§ 2.  Combinaisons linéaires......Page 27
§ 3.  Sous-espaces vectoriels......Page 28
§ 1.  Applications linéaires......Page 32
§ 2.  Espaces vectoriels quotients......Page 36
§ 1.  Somme directe d'une famille d'espaces vectoriels......Page 40
§ 2.  Projecteurs......Page 46
§ 3.  Supplémentaires de l'image et du noyau d'une application linéaire......Page 49
§ 1.  Propriété universelle de l'espace vectoriel......Page 52
§ 2.  Propriétés des familles génératrices, des familles libres......Page 58
§ 1.  Caractérisation des familles libres et des bases......Page 63
§ 2.  Existence de bases......Page 64
§ 1.  Dimension d'un espace vectoriel......Page 68
§ 2.  Sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel de dimension finie......Page 72
§ 3.  Rang d'une application linéaire......Page 76
§ 1.  Espace dual......Page 80
§ 2.  Orthogonalité......Page 84
§ 3.  Bidualité......Page 86
§ 4.  Biorthogonalité......Page 88
§ 5.  Transposition......Page 91
§ 1.  Produit tensoriel de deux espaces vectoriels......Page 96
§ 2.  Produit tensoriel de deux applications linéaires......Page 101
§ 3.  Produit tensoriel d'une famille d'espaces vectoriels, d'une famille d'applications linéaires......Page 110
§ 1.  Trace d'un endomorphisme......Page 120
§ 2.  Extension du corps des scalaires......Page 127
§ 1.  Algèbres......Page 134
§ 2.  Sous-algèbres, idéaux......Page 137
§ 3.  Morphismes d'algèbres......Page 141
§ 4.  Algèbres graduées......Page 143
§ 5.  Algèbre d'un monoïde......Page 145
§ 6.  Algèbres libres......Page 147
§ 1.  Matrices et applications linéaires......Page 154
§ 2.  Opérations sur les matrices......Page 156
§ 3.  Matrices de changement de base......Page 162
§ 4.  Rang d'une matrice......Page 165
§ 1.  Matrices diagonales......Page 170
§ 2.  Matrices trigonales......Page 171
§ 3.  Opérations élémentaires......Page 174
§ 4.  Matrices décomposées en blocs......Page 178
§ 1.  Puissances tensorielles d'un espace vectoriel......Page 183
§ 2.  Algèbre tensorielle d'un espace vectoriel......Page 185
§ 3.  Extension tensorielle d'une application linéaire......Page 188
§ 4.  Cas des espaces vectoriels munis de bases......Page 191
§ 5.  Dualité dans l'algèbre tensorielle......Page 195
§ 1.  Puissances tensorielles mixtes d'un espace vectoriel......Page 199
§ 2.  Algèbre tensorielle mixte d'un espace vectoriel......Page 202
§ 3.  Calcul tensoriel......Page 204
§ 1.  Puissances symétriques d'un espace vectoriel......Page 209
§ 2.  Algèbre symétrique d'un espace vectoriel......Page 216
§ 3.  Extension symétrique d'une application linéaire......Page 219
§ 4.  Cas des espaces vectoriels munis de bases......Page 221
§ 5.  Dualité dans l'algèbre symétrique......Page 223
§ 1.  Puissances extérieures d'un espace vectoriel......Page 231
§ 2.  Algèbre extérieure d'un espace vectoriel......Page 238
§ 3.  Extension extérieure d'une application linéaire......Page 241
§ 4.  Cas des espaces vectoriels munis de bases......Page 243
§ 5.  Dualité dans l'algèbre extérieure......Page 245
§ 6.  Déterminants......Page 252
§ 1.  Equations linéaires......Page 263
§ 2.  Equations linéaires, en dimension finie......Page 268
§ 3.  Emploi des déterminants......Page 273
§ 1.  Décomposition du noyau d'un polynôme d'un endomorphisme......Page 279
§ 2.  Polynôme minimal d'un endomorphisme......Page 283
§ 3.  Sous-espaces spectraux......Page 285
§ 4.  Endomorphismes scindés......Page 291
§ 5.  Endomorphismes diagonalisables......Page 295
§ 6.  Structure des sous-espaces vectoriels stables......Page 300
§ 1.  Conséquences de la théorie générale......Page 303
§ 2.  Polynôme caractéristique d'un endomorphisme......Page 306
§ 3.  Endomorphismes trigonalisables......Page 308
§ 4.  Réduction d'une famille commutative d'endomorphismes......Page 314
§ 5.  Décompositions additive et multiplicative d'un endomorphisme......Page 317
§ 6.  Réduction d'un endomorphisme d'un espace vectoriel sur le corps des réels......Page 319
§ 7.  Réduction des matrices......Page 325
§ 8.  Réduction des puissances tensorielles, symétriques et extérieures d'un endomorphisme......Page 331
§ 9.  Facteurs invariants d'une matrice polynomiale......Page 339
§ 10. Réduite de Jordan......Page 346
§ 11. Calcul fonctionnel sur les endomorphismes......Page 356
§ 1.  Formes bilinéaires......Page 362
§ 2.  Formes quadratiques......Page 367
§ 3.  Formes sesquilinéaires......Page 374
§ 4.  Formes hermitiennes......Page 379
§ 1.  Orthogonalité......Page 385
§ 2.  Sous-espaces isotropes......Page 390
§ 3.  Bases orthogonales......Page 394
§ 4.  Réduction des formes quadratiques......Page 397
§ 5.  Réduction des formes hermitiennes......Page 401
§ 6.  Réduction des formes bilinéaires alternées......Page 404
§ 1.  Adjointe d'une application linéaire......Page 408
§ 2.  Endomorphismes normaux, endomorphismes autoadjoints......Page 413
§ 3.  Automorphismes d'une forme bilinéaire, ou sesquilinéaire......Page 417
§ 4.  Structure des groupes orthogonaux et unitaires......Page 421
§ 5.  Groupes symplectiques......Page 430
§ 1.  Espaces vectoriels hermitiens......Page 432
§ 2.  Espaces vectoriels euclidiens......Page 443
§ 1.  Réduction des endomorphismes normaux d'un espace vectoriel hermitien......Page 446
§ 2.  Calcul fonctionnel sur les endomorphismes normaux......Page 453
§ 3.  Décomposition polaire d'une application linéaire......Page 462
§ 4.  Réduction des endomorphismes normaux d'un espace vectoriel euclidien......Page 466
Produits, sommes directes......Page 472
Familles génératrices, familles libres......Page 473
Dimension, codimension......Page 475
Image et noyau d'une application linéaire......Page 477
Dualité......Page 482
Produits tensoriels......Page 484
Matrices......Page 489
Algèbres......Page 492
Algèbres d'endomorphismes......Page 496
Extensions quadratiques......Page 498
Quaternions......Page 500
Algèbres tensorielles, symétriques et extérieures......Page 505
Déterminants......Page 511
Matrices inversibles......Page 514
Calcul du rang d'une matrice......Page 515
Décomposition d'une matrice carrée......Page 517
Équations linéaires......Page 520
Réduction des endomorphismes......Page 524
Trigonalisation d'un endomorphisme......Page 530
Réduction des matrices......Page 531
Facteurs invariants, réduite de Jordan......Page 535
Calcul fonctionnel......Page 537
Formes bilinéaires et sesquilinéaires......Page 542
Endomorphismes remarquables......Page 547
Espaces vectoriels hermitiens et euclidiens......Page 552
Réduction des endomorphismes normaux......Page 556
Bibliographie......Page 560
Index terminologique......Page 562