Algebre commutative (lecture notes)

Présentation......Page 7
Plan provisoire......Page 8
1.1. Groupe......Page 9
1.3. Anneaux......Page 10
1.7. Polynômes......Page 11
1.9. Catégories......Page 12
1.11. Relations d\'ordre......Page 13
2.1. Premières propriétés......Page 15
2.2. Idéaux......Page 19
2.3. Morphismes......Page 23
2.4. Algèbres et sous-anneaux......Page 24
2.5. Exercices......Page 27
2.6. Solutions......Page 28
3.1. Anneaux quotients......Page 33
3.2. Localisation......Page 38
3.3. Exercices......Page 45
3.4. Solutions......Page 46
4.1. Idéaux premiers, idéaux maximaux......Page 51
4.2. Le théorème des zéros de Hilbert......Page 56
4.3. Exercices......Page 61
4.4. Solutions......Page 63
5.1. Définitions......Page 71
5.2. Anneaux factoriels......Page 73
5.3. Sommes de carrés......Page 78
5.4. Anneaux de polynômes......Page 81
5.5. Résultant. Un théorème de Bézout......Page 84
5.6. Exercices......Page 89
5.7. Solutions......Page 90
6.1. Premiers pas......Page 95
6.2. Opérations sur les modules......Page 98
6.3. Générateurs, bases, modules libres......Page 102
6.4. Quotients de modules......Page 103
6.5. Localisation des modules......Page 106
6.6. Exercices......Page 110
6.7. Solutions......Page 112
7.1. Modules de type fini......Page 121
7.2. Modules noethériens. Généralités......Page 124
7.3. Algèbres de polynômes......Page 127
7.4. Un théorème de Hilbert......Page 129
7.5. Idéaux premiers minimaux......Page 133
7.6. Exercices......Page 136
7.7. Solutions......Page 137
8.1. Sous-modules d\'un module libre......Page 143
8.2. Modules de type fini......Page 147
8.3. Exemples......Page 152
8.4. Exercices......Page 155
8.5. Solutions......Page 157
9.1. Éléments entiers, algébriques......Page 163
9.2. Extensions entières, algébriques......Page 166
9.3. Construction d\'extensions algébriques......Page 169
9.4. Exercices......Page 173
9.5. Solutions......Page 174
10.1. Suites exactes......Page 181
10.2. Suites exactes scindées. Modules projectifs et injectifs......Page 184
10.3. Foncteurs exacts......Page 189
10.4. Modules différentiels. Homologie et cohomologie......Page 192
10.5. Exercices......Page 197
10.6. Solutions......Page 199
11.1. Définition......Page 203
11.2. Quelques propriétés......Page 206
11.3. Changement de base......Page 211
11.4. Adjonction et exactitude......Page 213
11.5. Exercices......Page 215
11.6. Solutions......Page 217
12.1. Longueur......Page 223
12.2. Modules et anneaux artiniens......Page 226
12.3. Support et idéaux associés......Page 230
12.4. Décomposition primaire......Page 234
12.5. Exercices......Page 238
12.6. Solutions......Page 241
13.1. Corps finis......Page 249
13.2. Séparabilité......Page 251
13.3. Théorie de Galois......Page 254
13.4. Compléments......Page 259
13.5. Degré de transcendance......Page 263
13.6. Exercices......Page 267
13.7. Solutions......Page 270
14.1. Le théorème de normalisation de Noether......Page 281
14.2. Finitude de la clôture intégrale......Page 284
14.3. Dimension et degré de transcendance......Page 286
14.4. Exercices......Page 288
14.5. Solutions......Page 289
Bibliographie......Page 293
Index......Page 295