Algebraic Methods in Nonlinear Perturbation Theory

کتابهای زیادی قبلاً در مورد تئوری اغتشاش معادلات دیفرانسیل با یک پارامتر کوچک نوشته شده است. بنابراین، مایلیم دلایلی را بیان کنیم که چرا خواننده باید با کتاب دیگری در این زمینه زحمت بکشد. در حال حاضر فقط در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی و کاربردهای آنها صحبت می کنیم، متوجه می شویم که روش های حل آنقدر متعدد و متنوع هستند که این بخش از ریاضیات کاربردی به عنوان مجموعه ای از روش های ضعیف به نظر می رسد. اکثر این روش ها نیاز به حدس زدن قبلی از ساختار مجانبی مورد نظر دارند. روش پوانکر اشکال معمولی و روش‌های میانگین‌گیری بوگولیوبوف-کریلوف میتروپولسکی که در ادبیات به خوبی شناخته شده‌اند، باید به طور خاص در رابطه با آنچه در ادامه خواهد آمد ذکر شود. این روش‌ها جستجوی فوری برای راه‌حل‌ها را در شکل خاصی فرض نمی‌کنند، بلکه از تغییرات متغیرهای نزدیک به تبدیل هویت استفاده می‌کنند که سیستم اولیه را به شکل عادی معینی می‌رساند. کاربرد این روش ها توسط اشکال خاصی از سیستم های اولیه محدود شده است.

Many books have already been written about the perturbation theory of differential equations with a small parameter. Therefore, we would like to give some reasons why the reader should bother with still another book on this topic. Speaking for the present only about ordinary differential equations and their applications, we notice that methods of solutions are so numerous and diverse that this part of applied mathematics appears as an aggregate of poorly connected methods. The majority of these methods require some previous guessing of a structure of the desired asymptotics. The Poincare method of normal forms and the Bogolyubov-Krylov­ Mitropolsky averaging methods, well known in the literature, should be mentioned specifically in connection with what will follow. These methods do not assume an immediate search for solutions in some special form, but make use of changes of variables close to the identity transformation which bring the initial system to a certain normal form. Applicability of these methods is restricted by special forms of the initial systems.