Algebraic Curves over a Finite Field (Princeton Series in Applied Mathematics)

این کتاب مقدمه‌ای در دسترس و مستقل بر نظریه منحنی‌های جبری در یک میدان محدود ارائه می‌کند، موضوعی که سال‌ها برای ریاضیات از اهمیت اساسی برخوردار بوده و کاربردهای اساسی در زمینه‌هایی مانند هندسه محدود، اعداد دارد. نظریه، کدهای تصحیح خطا، و رمزنگاری. برخلاف سایر کتاب‌ها، این کتاب به جای رویکرد میدان تابعی به منحنی‌های جبری، بر هندسه جبری تأکید می‌کند.

نویسندگان با توسعه نظریه کلی منحنی‌ها در هر زمینه شروع می‌کنند، و ویژگی‌هایی را که برای مشخصه‌های مثبت رخ می‌دهد و نیاز به ویژگی‌های مثبت را برجسته می‌کنند. خواننده فقط دانش اولیه جبر و هندسه. سپس خواص ویژه ای که یک منحنی بر روی یک میدان محدود می تواند داشته باشد مورد بحث قرار می گیرد. تئوری هندسی سری های خطی برای یافتن تخمین تعداد نقاط گویا روی یک منحنی، پیرو نظریه استور و ولوچ، استفاده می شود. رویکرد Hasse و Weil از طریق توابع زتا توضیح داده می‌شود، و سپس توجه به نتایج پیشرفته‌تر معطوف می‌شود: مقدمه‌ای پیشرفته برای منحنی‌های حداکثر در میدان‌های محدود ارائه شده است. گزارش جامعی از گروه اتومورفیسم یک منحنی ارائه شده است. و برخی از کاربردها در نظریه کدگذاری و هندسه محدود شرح داده شده است. این کتاب شامل مثال ها و تمرین های زیادی است. این یک منبع ضروری برای محققان و کتاب درسی ایده آل برای دانشجویان تحصیلات تکمیلی است.

This book provides an accessible and self-contained introduction to the theory of algebraic curves over a finite field, a subject that has been of fundamental importance to mathematics for many years and that has essential applications in areas such as finite geometry, number theory, error-correcting codes, and cryptology. Unlike other books, this one emphasizes the algebraic geometry rather than the function field approach to algebraic curves.

The authors begin by developing the general theory of curves over any field, highlighting peculiarities occurring for positive characteristic and requiring of the reader only basic knowledge of algebra and geometry. The special properties that a curve over a finite field can have are then discussed. The geometrical theory of linear series is used to find estimates for the number of rational points on a curve, following the theory of Stöhr and Voloch. The approach of Hasse and Weil via zeta functions is explained, and then attention turns to more advanced results: a state-of-the-art introduction to maximal curves over finite fields is provided; a comprehensive account is given of the automorphism group of a curve; and some applications to coding theory and finite geometry are described. The book includes many examples and exercises. It is an indispensable resource for researchers and the ideal textbook for graduate students.